?为OP与OQ的夹角。4、电荷Q均匀分布于半径为a 的球体内，求各点的电场强度，并由此直接计算
电场的散度。
解：作半径为r的球（与电荷球体同心）。由对称性，在球面上各点的电场强度有相同的数值E，并沿径向。当r?a时，球面所围的总电荷为Q，由高斯定理得
2E?ds?4?rE??Q?0,
Qr.?r?a??@? 4??0r3 因而 E?Q4??0r2,写成矢量式得 E?4343QQr3?3. 若r?a,则球面所围电荷为： ?r???r4333a?a3Qr3应用高斯定理得：?E?ds?4?rE?. 3?0a2由此得 E?Qr.?r?a??*? 34??0a现在计算电场的散度。当r?a时E应取?@?式，在这区域r?0，由直接计算可得 ??r?0,?r?0? r3 因而 ??E?Q4??0??r?0.?r?a? 3rQ4??0a??r?33Q??.?r?a?
4??0a3?0当r?a时E应取?*?式，由直接计算得 ??E?
10、静止长度为l0的车厢，以速度v相对于地面S运行，车厢的后壁以速度为U0向前推出一个小球，求地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间。
???2解：S系的观察者看到长度为l01??的车厢以vv?vi运动，又看到小球以
????u?ui追赶车厢。?小球从后壁到前壁所需的时间为：
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2?1?vu0?vu?v?v??0u0?vc2?u01?c2c2??t? 。u?，u?v??，vuvuvuu?v1?021?021?02cccvu?l0??1?02?1v'c??'?'??t??或t2?t1'?l0u0，t2?t1?t2?t1'?2x2?x1'??c?x2'?x1'?l0u01?v2c21?v2c2?l01?v2????????l0l0v??l??20?2ucv?0?u01?v221?cc21?vu0??1?2?c??
13、内外半径分别为a和b的球形电容器，加上v?v0coswt的电压，且?不大，故电场分布和静态情形相同，计算介质中位移电流密度jD及穿过半径R?a?R?b?的球面的总位移电流JD。 解：位移电流密度为：
vcoswtv?0b?ab?aR?R?22
?v0w?jD???0sinwtb?aR?2????EjD??0,又E??t穿过半径R
?a?R?b?的球面的总位移电流JD为：
??4?R2v0w?02JD?jD4?R??sinwt
b?aR?217、设有两根互相平行的尺，在各自静止的参考系中的长度为l0，它们以相同速率v相对于某一参考系运动，但运动方向相反，且平行于尺子，求站在一根尺上测量另一根尺的长度。 解：S'系观察到S''的速度 v''??v?v1?v??v??c2?2v ?S'测得S''的尺子长度是 21?v2cl?l04v21?2v1??c2?l0c2?v2? ?运动尺的收缩，只与相对运动的速度的绝对值c2?v217
??
l0c2?v2有关，?S测得S的尺子长度也是 。 22c?v'''????19、设有一随时间变化的电场E?E0coswt，试求它在电导率为?，介电常数为
?的导体中，引起的传导电流和位移电流振幅之比，从而讨论在什么情况下，传
导电流起主要作用，什么情况下位移电流其主要作用。
??解：可知传导电流为：j??i，位移电流为：
????E??jD????E0coswt???wsinwtE0.??t?t???j?。当????w时，传导电流??jD?w起主要作用；当????w时，位移电流起主要作用。
?????????22220、已知矢势 A?5(x?y?z)i ，求 B ，若A??A?5j?6k ，A与A? 是否对应同一电磁场。 解：
???????????222?B???A?(i?j?k)?5?x?y?z?i?10zj?10yk?x?y?z???'????????????222?? 而??A??i?j?k??5?x?y?z?i?5j?6k?10zj?10yk???A.?x?y?z????'?矢势A与A为同一电磁场。
????22、矢势A??B0yi，A'?B0xj，其中B0为常数，它们对应着同一磁场，因此，
?????'?A?A???求式中的标量函数?。
?'???解：????A?A?B0yi?B0xj，???B0xy?f?z?
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