2007年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题（必修+选修Ⅱ）
广东卷
试卷类型： B
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分 在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的。
一、选择题（本题8小题，每题5分，满分40分）
1 已知函数f(x)?的定义域为M，g(x)=ln(1?x)的定义域为N，则M∩N= 1?x （A）{x|x??1} （B）{x|x?1} （C）{x|?1?x?1} （D）?
1答案：C；
2 若复数（1+bi）(2+i)是纯虚数（i是虚数单位，b为实数），则b=
11 (A) -2 (B) - (C) (D) 2
22答案：B； 解析：（1+bi）(2+i)=（2-b）+(2b+1)i，故2b+1=0，故选B； 13 若函数f(x)?sin2x?(x?R)，则f(x)是
2?的奇函数； （B）最小正周期为?的奇函数； 2 （C）最小正周期为2?的偶函数； （D）最小正周期为?的偶函数； 答案：D；
4 客车从甲地以60km/h的速度行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间的关系图象中，正确的是 （A）最小正周期为
答案：C； 解析：
5 已知数列｛an｝的前n项和Sn?n2?9n，第k项满足５＜ak＜８，则k=
（A）9 （B）8 （C）7 （D）6
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答案：B；
解析：此数列为等差数列，an?Sn?Sn?1?2n?10，由5<2k-10<8得到k=8。
6 图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形图表示学生人数依次记为A1、A2、…A10（如A2表示身高（单位：cm）在[150，155)内的人数]。图2是统计图1
中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图。现要统计身高在160~180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是 （A）i<6 (B) i<7 (C) i<8 (D) i<9
答案：C； 解析：S=A4?A5?A6?A7； 7 图３是某汽车维修公司的维修点分布图，公司在年初分配给Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个维修点的某种配件各５０件，在使用前发现需将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个维修点的这批配件分别调整为４０、４５、５４、６１件，但调整只能在相邻维修点之间进行，
那么完成上述调整，最少的调动件次（ｎ个配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为ｎ）为
（Ａ）１５ （Ｂ）１６ （Ｃ）１７ （Ｄ）１８ 答案：B；
8 设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a,b∈S,对于有序元素对(a,b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应）。若对于任意的a,b∈S,有a*( b * a)=b，则对任意的a,b∈S,下列等式中不恒成立的是 ．
（A）( a * b) * a =a (B) [ a*( b * a)] * ( a*b)=a （B）b*( b * b)=b （C）( a*b) * [ b*( a * b)] =b 答案：A；
二、填空题（本题7小题，每题５分，满分3０分，其中１3，１５是选做题，考生只能选做两
题，三题全答的，只计前两题得分）
9 甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球。现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个球，则取出的两球是红球的概率为______(答案用分数表示)
2答案：
9412解析：??；
669??????????10 若向量a,b满足|a|?|b|?1，a,b的夹角为60°，则a?a?a?b=______；
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3答案：；
2????13解析：a?a?a?b?1?1?1??，
2211 在直角坐标系xOy中,有一定点A（2，1）。若线段OA的垂直平分线过抛物线y2?2px(p?0)的焦点，则该抛物线的准线方程是______; 5答案：x??;
4解析：OA的垂直平分线的方程是y-15??2(x?1)，令y=0得到x=; 2412 如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_____条，
这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)?____；f(n)=______(答案用数字或n的解析式表示)
答案：解析：
n(n?1);8;n(n-2)。 2n(n?1);f(4)?4?2?8;f(n)?n?(n?2) 2?x?t?3（参
?y?3?t13 （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为?数t∈R），圆C的参数方程为??x?cos?（参数??[0,2?]），则圆C的圆心坐标为_______，
y?2sin??2?圆心到直线l的距离为______
答案：（0，2）；22
解析：直线的方程为x+y-6=0，d=?22; 214 （不等式选讲选做题）设函数f(x)?|2x?1|?x?3,则f(?2)=_____；若f(x)?5，则x的取
|2?6|值范围是________；
1答案：6；[?,1]
215 几何证明选讲选做题］如图所示，圆Ｏ的直径为６，Ｃ为圆周上一点。ＢＣ＝３，过Ｃ作圆的切线ｌ，过Ａ作ｌ的垂线ＡＤ，垂足为Ｄ，则∠ＤＡＣ＝______；线段AE的长为_______。
DClAOB答案：
?；3。 6解析：根据弦切角等于夹弧所对的圆周角及直角三角形两锐角互余，很容易得到答案； AE=EC=BC=3； 三、解答题
16 （本小题满分１2分）
已知ABC的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、Ｃ(c,0) （１） 若c=5，求sin∠A的值；
（２） 若∠A为钝角，求c的取值范围；
解析： （1）AB?(?3,?4)，AC?(c?3,?4)，若c=5， 则AC?(2,?4)，∴
????????????数学（理科）试卷B 第 8 页 （共 12 页）
????????25?6?161，∴sin∠A＝； cos?A?cos?AC,AB???55?255??3c?9?16?02525 （2）若∠A为钝角，则?解得c?，∴c的取值范围是(,??)；
33?c?017 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生
产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据
ｘ ｙ ３ ２ ５ ４ ３ ５ ４ ６ ４ ５ （１） 请画出上表数据的散点图；
??a?； （２） 请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出ｙ关于ｘ的线性回归方程y?bx（３） 已知该厂技术改造前１００吨甲产品能耗为９０吨标准煤；试根据（２）求出的线性
回归方程，预测生产１００吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？
（3×2 5+4×3+5×4+6×4 5=66 5） 解析：
（１） 略；
（２） 方法1（不作要求）：设线性回归方程为y?bx?a，则
f(a,b)?(3b?a?2.5)2?(4b?a?3)2?(5b?a?4)2?(6b?a?4.5)2?4a?2a(18b?14)?(3b?2.5)?(4b?3)?(5a?4)?(6b?4.5)22222
∴a?7?9b?3.5?4.5b时， 2 f(a,b)取得最小值(1.5b?1)2?(0.5b?0.5)2?(0.5b?0.5)2?(1.5b?1)2
5即0.5[(3b?2)2?(b?1)2]?5b2?7b?，∴b?0.7,a?0.35时ｆ（ａ，ｂ）取得最小值；
2所以线性回归方程为y?0.7x?0.35；
??66.5?4?4.5?3.5?66.5?63?0.7 方法2：由系数公式可知，x?4.5,y?3.5,b586?4?4.52??3.5?0.7?9?0.35，所以线性回归方程为y?0.7x?0.35； a2（３）ｘ＝１００时，y?0.7x?0.35?70.35，所以预测生产１００吨甲产品的生产能耗比技
术改造前降低１９ ６５吨标准煤 18 （本小题满分14分）
在直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限、半径为22的圆C与直线y=x相切于坐标原x2y2点O，椭圆2??1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10。
9a （1）求圆C的方程；
（2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆的右焦点F的距离等于线段OF的长，若存在求出Q的坐标；若不存在，请说明理由。 解析：（1）圆C：(x?2)2?(y?2)2?8；
x2y2 （2）由条件可知a=5，椭圆??1，∴F（4，0），若存在，则F在OQ的中垂线上，又O、
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Q在圆C上，所以O、Q关于直线CF对称；
4??yx??3??1??5 直线CF的方程为y-1=?(x?1),即x?3y?4?0，设Q（x,y），则?x，解得?3?x?3y?4?0?y?12??5?22?412所以存在，Q的坐标为(,)。
5519 （本小题满分14分）
如图6所示，等腰三角形△ABC的底边AB=66，高CD=3，点E是线段BD上异于B、D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE=x，V（x）表示四棱锥P-ACEF的体积。 （1）求V(x)的表达式； P （2）当x为何值时，V(x)取得最大值？
（3）当V（x）取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦DEA值。 B
F（1）由折起的过程可知，PE⊥平面
CABC
S?BEF，
S?ABC?96，
图6x262??S?BDC?x 541261x(9?x2)（0?x?36） 31261(9?x2)，6?x?36时v'(x)?0 ，v'(x)?0 ，所以x?(0,6)时，V(x)单调递增；34V(x)=V'(x)?（2）
V(x)单调递减；因此x=6时，V(x)取得最大值126； （3）过F作MF//AC交AD与M,则
BMBFBEBE???,MB?2BE?12，PM=62， ABBCBD1AB2MF?BF?PF?636BC?654?9?42， 3在△PFM中， cos?PFM?20 （本题满分14分）
84?7222?，∴异面直线AC与PF所成角的余弦值为； 4277 已知a是实数，函数f(x)?2ax2?2x?3?a，如果函数y?f(x)在区间[-1，1]上有零点，求实数a的取值范围。
解析1：函数y?f(x)在区间[-1，1]上有零点，即方程f(x)?2ax2?2x?3?a=0在[-1，1]上有解， a=0时，不符合题意，所以a≠0,方程f(x)=0在[-1，1]上有解<=>f(?1)?f(1)?0或
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