设[O;xyzl是一右手直角坐标系,【O;X’Y 7刃1是与前一坐标 系具有相同坐标原点和相同长度单位的直角坐标系(未必是右 手系。设,、J『’、k’分别为与OX’、OY’、OZ'轴具有相同方向的单 位向量(即新系中的基本单位向量;再设r与旧坐标系中的基 本单位向量i,i、k的夹角分别是al、b x.c。∥与ij、k的夹角分别 为o.2、b:、c:;七7与i4、k的夹角分别为‰b,、C3。坐标角度的关系 如表1所示。
表1旋转啦标各单位向量夹角 ox(i orq oz(t OX’(r OY’扩 DF(七’
则有下列关系式成立: |i,iC05m巧COSbl+量COtScl
【,7爿C08n硝COSb2+kCOSc2(4 I露,j c。s劬ocosb3+kc。sc3
当新坐标系的一条轴确定以后,第二条轴就不能再自由地 选择,因为第二条轴必须与第一条轴垂直。同样当两条轴确定 以后,如果不要求新坐标系成为右手坐标系,第三条轴的方向 只有两种选择了。所以上面的9个夹角不是独立的。事实上确 定第一条轴的3个夹角也不是自由选择的,因为这3个角度要 成为—个方向的方向角。其余弦的平方和必须等于l。因此这9个角之间必须满足某种制约关系。因为f、,、k两两垂直且为单 位向量,i’,、∥为单位向量,故由公式(4可推出:
fC062th+COa2嘶托os2a3=l {COS2b,+cos*b—cos2b3=l (5 【C062 cI+c082c—.cos2cFl
t30B al COg b,+cos a2COS b2+cos o-3咖bP--O {c08毋C08cI+COSa2c0Bc2+eos仍C08c:O (6 lC08bl C08C
x+COS b2C08c2+cos b3C08c:0
同时,当al_-要,通过几何关系可得出关系式: 二
r——i———————_;——一 c∞6l-、/÷一÷C08b3(7 V c菇63sin‘n3
若o.3、b,已知,由公式(5一(7和已知条件即可求出al、%o.3、b。、 b2.b,、cl、c2、c,,则对于实物平面上的任一点(龙,Y,0,设在旋转 后的坐标系中的x.y坐标为互’∥7,且有关系式:
万方数据
庄光明,崔建伟,彭作祥:基于双目定位原理的系统标定算法 2010.46(847 ∥≈嘲口1啊嘲61(8 ly’≈C08州cosb2
再通过2.1.1节,即可求出像坐标在以光学中心为原点的坐 标系中的坐标。由于在上述模型中得出的是实物平面上任 意一点坐标对应的像平面的坐标,由于实物坐标已知,取U---- 10000mm,像距v=l 577/3.78--417.1958mm,故可得出像平面的
坐标,如表2。 表2像平面的坐标 实物坐标 像坐67,/mm
(一50,50,0 (一20,50,0 (50,50,0 (50,一50,O (-50,50,0
(1.4750。3.5610,417.1958 (1.4559。2.6760,417.1958 (1.4538,0.6110,417.1958 (一1.4750,一3.5610,417.1958 (一1.4637,-0.6335,417.1958
2.2精度及稳定性分析
任意给定照相机与所建实物坐标系中彳轴、l,轴偏离角度
n和卢,在Ot和卢变化占个角度(占很小的情况下,分别计算 Ot够和Or+8.伊8所对应的某—特征点在像平面的像坐标(以照 相机的光学中心为原点的坐标系,比较这两个像坐标的距离。
开始固定a=孚,肛≥,得出口l=1.570796,b,=o.7853982,a2= 4j
3.926991,bt--O。输入物平面上的任一点(一50,50(z坐标上的 坐标为0,编程时没在编入,得到像平面上像点在以光学中心 为原点的坐标系上的坐标为(1.4750,3.5610(:轴上的坐标 为移,编程时没考虑。取e=O.001时,使相机偏移a+占,/3+e, 得到m=1.570796,b1--0.7826726,啦-3.92799l,b2--O,再次输 入(-50,50得出像点的坐标为(1.4790,3.5595o所以像点的 坐标变化很微小,由此可见此方法的精确度和稳定性较高。 2.3相机相对位置确定模哩
实物与相机这一整体有两个主要坐标系,实物坐标系与以 光学中心为原点的坐标系,而在两个坐标系下无法求出相机的 相对位置,因此需要整合到—个坐标系中,以实物坐标系为基 础,可求出两部固定相机光学中心的坐标,由几何学向量关系 求出两光学中心的距离与偏离的角度,即可认为是两相机的相 对位置。两相机是固定的,因
此它们的光学中心离实物坐标系 的原点的距离是一定的,分别设为d。、如。它们的光学中心在实 物坐标系下的坐标设为Pl、B,如图3所示。
D ‘Z 么只. y
图3两相机在实物坐标系中的相对位置
由实际可知lOP八lOP21,即d,、如是已知的,因相机固定 OPi、OR与x,y、:轴问的夹角是可知的,可分别设为∞够,、y。、 啦如、协,且满足关系式:
{cos吐1.+COS卢I+c08y1=l
b%十c靠+c惦2镌:l 侈’ 由数学软件LINGO,只需要知道两个角度即可利用三角函数得 到Pl、P2在实物坐标系下的坐标:
(dl COSal,凼COS/31d1c0871,(如cosOL2,d2COS岛,如C05讹 再利用内积夹角公式:.
cosO=-.篡暑j凳刍=COS al C08r,z+cotz+.e∞届。∞鼻讳。∞竹cos Y2。 Io_Pil6商 ∞麒。osf计o∞竹
可得到角P10P2的余弦co胡,设俨以I--d,,然后在三角形DP】P2中根据公式:《=彳《-2蚶。xd2xcos0,求得Pl、足之间的距离 如。从而得出两部相机的相对位置,即一部相机偏离另一部相 机的角度一,距离d3。例如:若d。=200,d2=300,口。=1.570796,rt2=. 3.926991,得0=-0.7861211,d3=212.6225。
3模型分析及推广
此算法具有一般性和通用性,若遇到其他情况,只需抓住 问题实质,经过转换,文章中的模型还可用。此算法运用了三角 形相似、旋转坐标系等数学方法,结合Matlab、Lingo等计算机 软件,充分实现了计算机和数学的结合,计算结果精度较高,
但 将两部照相机当作两个位于光学中心的质点,忽略了照相机本 身对整个坐标系的影响。将照相机原理按照小孔成像来处理, 可能会出现一J些偏差且已知角度在测量时会引入误差。
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