1.4 练习
n ?n 1 ? 1
1）取很大的正整数 n，验证公式 1? ? e和 ? e。 ? ? ?
? ? n k?0 k!
2）输入以下命令, 理解选项的含义:
Plot[{Sin[x],Sin[2x],Sin[3x]},{x,0,2Pi},PlotStyle->
{RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,1,0],RGBColor[0,0,1]}]; Plot[Sqrt[1+x^2],{x,-6,6},
PlotStyle->{Dashing[{0.01,0.02}], RGBColor[1,0,0]}]; 3）输入以下命令, 观察函数的复合情形: Plot[Sin[Cos[Sin[x]]],{x,-Pi,Pi}];
Plot[Sin[Tan[x]]-Tan[Sin[x]]/x^2,{x,-2Pi,2Pi}];
Plot[{E^x,ArcTan[x],E^ArcTan[x]},{x,-5,5},PlotStyle-> {RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,1,0],RGBColor[0,0,1]}]; 4）为观察函数的叠加, 输入以下命令:
g1=Plot[x,{x,-5,5},PlotStyle->RGBColor[1,0,0]]
g2=Plot[2Sin[x],{x,-5,5},PlotStyle->RGBColor[1,1,0]] g3=Plot[x+2Sin[x],{x,-5,5},PlotStyle->RGBColor[0,0,1]] Show[g1,g2,g3]
5）分别用 ParametricPlot和 PolarPlot作出五叶玫瑰线 ?=4sin5?的图形. 6）定义数列 x0 ? 1, xn ? 1 (xn?1 ? x3 )，计算前 10项的值, 观察变化趋势.
2
7）求极限:
n?1
lim(xsin 1 ? 1 sin x);
x?0 x x lim tan x ?sin x x?0 x 3 lim(sin x 1?cos x
)
x?0 x
8）求下列函数的导数:
y=f2(x); y=f(x2);
9）求函数 y=x2cosx的高阶导数 y(10). 10）求下列隐函数 y=y(x)的导数
1
lim x ，
x?0?
x
lim
x???
x e 2
x
2 lim x ln x x?0?
y=ln(f(x));
ln x ? e ? e，
y
? x
arctan y ? ln x 2 2
? y
x
24
实验 03 一元函数微分学应用
实验目的：
1、理解并掌握用函数的导数求单调区间、凹凸区间、极值的方法。 2、结合图形理解泰勒公式和中值定理的意义。 实验内容：
1、求函数的单调区间、凹凸区间、极值。
2、求函数的泰勒公式，并绘制函数及其泰勒公式的图形。 3、验证中值定理的正确性。 3.1实验准备
3.1.1 数学原理：
1）利用导数求函数的单调区间
设函数 f (x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内 f '(x) ? 0，那么函数 y ? f (x)在 此区间为的增函数；如果在这个区间内 f '(x) ? 0，那么函数 y ? f (x)在此区间内为减函数. 2）利用导数求函数的凹凸区间
设函数 y ? f (x)在区间 (a,b)内的二阶导数存在，（1）若在(a,b)内 f \x) ? 0，则函 数 y ? f (x)在区间(a,b)内是凹的；（2）若在(a,b)内 f \x) ? 0，则函数 y ? f (x)在区间
(a,b)内是凹的.
函数 y ? f (x)的拐点一定是 f \x)=0 的点或 f \x)不存在的点，但 f \x)=0 的点或
f \x)不存在的点不一定是函数的拐点.
3）利用导数求函数的极值
若 x0满足 f '(x0) ? 0，且在 x0的两侧 f (x)的导数异号，则 x0是 f (x)的极值点，f (x0) 是极值，并且如果 f '(x)在 x0两侧满足“左正右负”，则 x0是 f (x)的极大值点， f (x0)是 极大值；如 f '(x)在 x0两侧满足“左负右正” ，则 x0是 f (x)的极小值点， f (x0)是极小 值.
4）泰勒公式
对于正整数 n，若函数 f (x)在闭区间[a,b]上n阶连续可导，且在(a,b)上n?1阶可导。 任取 x0 ?[a,b]是一定点，则对任意 x?[a,b]成立下式：
(n) f (x) ? f (x0)? f '(x0) (x ? x0)? f \x0) (x ? x0) 2 ??? f (x0) (x ? x0)
1! 2! ? Rn(x)
25
n
n!
其中， f (n)(x)表示 f (x)的n阶导数，多项式称为函数 f (x)在 x0处的泰勒展开式，剩余的
Rn(x)是泰勒公式的余项，是(x ? x0) 的高阶无穷小。
5）中值定理
【罗尔中值定理】
n
如果函数 f (x)满足以下条件：在闭区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导， f (b)=f (a)， 则至少存在一个? ?(a,b)，使得 f '(?) ? 0。 【拉格朗日中值定理】
若函数 f (x)在区间[a,b]满足以下条件： （1）在(a,b)上可导；（2）在[a,b]上连续； 则必有一? ?(a,b)，使得 f '(?) ? f (b)? f (a) 。
b? a
【柯西（Cauchy）中值定理】
设函数 f (x)、 g(x)满足 （1）在闭区间[a,b]上连续； （2）在开区间(a,b)内可导； （3）对任意 x?(a,b)，g'(x) ? 0，
那么在(a,b)内至少有一点? ?(a,b)，使得 f '(?) ? f (b)? f (a)
g '(?) g(b)? g(a)
3.1.2函数命令：
1.求多项式方程的近似根的命令 NSolve和 NRoots
.
命令 NSolve的基本格式为：NSolve[f[x]= =0,x]。执行后得到多项式方程 f (x) ? 0的所 有根(包括复根)的近似值.
命令 NRoots的基本格式为：NRoots[f[x]= =0,x,n]。它同样给出方程所有根的近似值. 但 是二者表示方法不同. 在命令 NRoots的后面所添加的选项 n, 要求在求根过程中保持 n位有 效数字；没有这个选项时, 默认的有效数字是 16位. 2.求一般方程的近似根的命令 FindRoot
命令的基本格式为
FindRoot[f[x]= =0,{x,a},选项]
或者
FindRoot[f[x]= =0,{x,a,b},选项]
其中大括号中 x是方程中的未知数, 而 a和 b是求近似根时所需要的初值. 执行后得到方程
26
在初值 a附近, 或者在初值 a与 b之间的一个根.
方程的右端不必是 0, 形如 f (x) ? g(x)的方程也可以求根. 此外, 这个命令也可以求 方程组的近似根 . 此时需要用大括号将多个方程括起来 , 同时也要给出各个未知数的初值 . 例如,
FindRoot[{f[x,y]= =0,g[x,y]= =0},{x,a},{y,b}]
由于这个命令需要初值 , 应先作函数的图形 , 确定方程有几个根 , 以及根的大致位置 , 或所在区间, 以分别输入初值求根.
命令的主要选项有:
(1) 最大迭代次数:MaxIterations->n, 默认值是 15.
(2) 计算中保持的有效数字位数:WorkingPrecision->n, 默认值是 16位. 3.求函数极小值的近似值的命令 FindMinimum
命令的基本格式为
FindMinimum[f[x],{x,a}, 选项]
执行后得到函数在初值 a附近的一个极小值的近似值。这个命令的选项与 FindRoot相同, 只 是迭代次数的默认值是 30.
如果求函数 f (x)的极大值的近似值, 可以对函数 ? f (x)用这个命令. 不过, 正确的极 大值是所得到的极小值的相反的数.
使用此命令前, 也要先作函数的图形, 以确定极值的个数与初值. 4.作平面图元的命令 Graphics
如果要在平面上作点、圆、线段和多边形等图元, 可以直接用命令 Graphics. 例如, 输 入
g1=Graphics[Line[{{1,-1},{6,8}}],Axes->True] 执行后得到以(1,-1)和(6,8)为端点的直线段.
实际上 Show 命令中可以添加命令 Graphics 的所有选项. 如果要作出过已知点的折线, 只要把这些点的坐标组成的集合放在命令 Line[ ]之内即可. 如输入
Graphics[Line[{{0,0},{1,2},{3,-1}}],Axes->True] 输出为图.
2.0
1.5
1.0
0.5
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
?0.5
?1.0
3.2设计实验
3.2.1求函数的单调区间
例 1 求函数 y ? x ? 2x ?1的单调区间.
3
27
输入
f1[x_]:=x^3-2x+1;
Plot[{f1[x],f1 ' [x]},{x,-4,4},PlotStyle->{GrayLevel[0.01],Dashing[{0.01}]}] 则输出如图.
40 20
?4 ?2
?20 ?40
2 4
图中的虚线是导函数的图形. 观察函数的增减与导函数的正负之间的关系. 再输入
Solve[f1 ' [x]==0,x] 则输出
?? ?? ? ? ??x? ? ? 2 ? ? 2 ??
, x? ? ?? ??
3 ?? ?? ? ?? ?3
?? ??
即得到导函数的零点? 2 / 3 . 用这两个零点, 把导函数的定义域分为 3 个区间. 因为导函 数连续, 在它的两个零点之间, 导函数保持相同符号. 因此, 只需在每个小区间上取一点计
算导数值, 即可判定导数在该区间的正负, 从而得到函数的增减. 输入 f1' [-1] f1' [0] f1' [1]
输出为 1,-2,1. 说明导函数在区间 ?? 2 / 3 , ? 2 / 3, 2 / 3 , ? ,??? ?? 2 / 3,???上分别取
+,- 和 +. 因 此 函 数 在 区 间 ???,? 2 / 3 和 ?
?
? ? ? ? 2 / 3, 2 / 3 上单调减少.
?
3.2.2求函数的凹凸区间和拐点 例 2 求函数 y ? 输入
f3[x_]:=1/(1+2x^2);
Plot[{f3[x],f3'' [x]},{x,-3,3},PlotRange->{-5,2}, PlotStyle->{GrayLevel[0.01],Dashing[{0.01}]}]
28
? ?
?
2 / 3,?? 上 单 调 增 加 , 在 区 间
1
2 的凹凸区间和拐点. 1? 2x