4
2
?5 5
?2
?4
通过观察泰勒多项式图形与函数图形的重合与分离情况 , 可以看到在 [???, ]范围内
y ? sin x的 9 次泰勒多项式与函数图形几乎重合, 而在[?2?,2? ]范围内 y ? sin x的各次
泰勒多项式陆续与 y ? sin x 的图象分离 , 但其 15 次以及更高的泰勒多项式仍紧靠着
y ? sin x , 而在[?3?,3? ]范围内, 其 15 次泰勒多项式的图形也与 y ? sin x的图象分离.
由此可见, 函数的泰勒多项式对于函数的近似程度随着次数的提高而提高, 但对于任一确定 次数的多项式, 它只在展开点附近的一个局部范围内才有较好的近似精确度. (3) 固定n ?10,观察 x0的影响. 输入命令
t = Table[Normal[Series[Sin[x], {x, x0, 10}]], {x0, {0, 5, 12}}]; PrependTo[t, Sin[x]];
Plot[t, {x, 0, 6*Pi}, PlotRange -> {-3, 3}, PlotStyle -> {RGBColor[0, 0, 0], RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 1, 0], RGBColor[0, 0, 1]}, Background -> RGBColor[0.753, 0.753, 0.753]] 则输出如图.
3 2
1
5
?1 ?2
10 15
?3
3.2.6中值定理
34
例 8 对函数 f (x) ? x(x ?1)(x ? 2),观察罗尔定理的几何意义.
因为 f (0) ? f (1) ? f (2) ? 0,由罗尔定理, 存在 x1 ?(0,1), x2 ?(1,2) , 使得
f ?(x1) ? f ?(x2) ? 0.
(1) 画出 y ? f (x)与 f ?(x)的图形, 并求出 x 1与 x 2 . 输入
f[x_] = x*(x - 1)*(x - 2);
g1 = Plot[f[x], {x, -1, 3}, PlotStyle -> RGBColor[1, 0, 0]]; g2 = Plot[f'[x], {x, -1, 3}]; Show[g1, g2] NSolve[f'[x] == 0, x]
2 1
?1
?1 ?2
1 2 3
?3
(2)画出 y ? f (x)及其在点(x1, f (x1))与(x2, f (x2))处的切线. 输入
t1[x_] = f[0.42265]; t2[x_] = f[1.57735]; Plot[{f[x], t1[x], t2[x]}, {x, -1, 3}]
1.5 1.0 0.5
?1
?0.5 ?1.0 ?1.5
1 2 3
35
例 9 对函数 f (x) ? ln(1? x)在区间[0,4]上观察拉格朗日中值定理的几何意义. (1) 画出 y ? f (x)及其左、右端点连线的图形; 输入命令
Clear[g1, g2];
f[x_] = Log[1 + x]; a = 0; b = 4;
g1[x_] := f[a] + (f[b] - f[a])*(x - a)/(b - a); g2[x_] := f'[x] - (f[b] - f[a])/(b - a); Plot[{f[x], g1[x]}, {x, a, b}]
1.5
1.0
0.5
1 2 3 4
(2)画出函数 y ? f ?(x) 输入
? f (4) ? f (0) 的曲线图, 并求出?使得 f ??() ? f (4) ? f (0) .
4? 0 4? 0
Plot[g2[x],{x,a,b}]
NSolve[f ' [x]==(f[b]-f[a])/(b-a),x];
0.6
0.4
0.2
1 2 3 4
?0.2
{{ →1.4853397382384472}}
(3)画出 y ? f (x) ,它在?处的切线及它在左、右端点连线的图形. 输入命令
x1 = 1.4853397382384472; g3[x_] = f[x1] + f'[x1]*(x - x1); Plot[{f[x], g1[x], g3[x]}, {x, a, b}]
36
1.5
1.0
0.5
1 2 3 4
例 10 函数 f (x) ?1/ x 在区间[1,2]上满足拉格朗日中值定理的条件, 因此存在? ?(1,2)使
4
f ??() ? f ( f (2) ? f (1)) / (2 ?1).
验证这个结论的正确性. 输入 Clear[f]; f[x_]:=1/x^4;
Solve[D[f[x],x]==f[2]-f[1],x]//N 输出中有 5个解:
{{x -> -1.08137 - 0.785663 I}, {x -> 1.33665}, {x ->0.413048 + 1.27123 I}, {x ->0.413048 - 1.27123 I}, {x -> -1.08137 + 0.785663 I}}
其中的实数解就是满足拉格朗日中值定理的? , 约为 1.33665. 3.3 大作业
1）在区间[0,1]上对函数 f (x) ? 4x ?5x ? x ? 2验证拉格朗日中值定理的正确性。 2）在区间[0, ? ]上对函数 f (x) ? sin x和 F(x) ? x ? cos x验证柯西中值定理的正确性
3 2
2
3）求 y ? x 在(1,1)处的切线和法线方程。
2 4）求 x ? t , y ? sin t在(1,sin1)处的切线和法线方程。
2
5）作函数 y=x4+2x3–72x2+70x+24及其二阶导函数在区间[–8, 7]上的图形, 并求该函数的凹凸 区间和拐点.
6）函数 f (x) ? e 16 cos( x )， g(x) ? sin
? x2
3
x
?
f(x)=g(x)在该区间内的近似根.
? 5作它们在区间[0, ?]上的图形, 并求方程
4
7）查阅 Cauchy中值定理的相关资料，编写通用的 Cauchy中值定理验证函数，该函数并具 有相应的画图功能。请举例验证该函数，写出实验报告。
37
实验 04 一元微分应用中的数学模型
实验目的：
1、学习建立一元函数的极值模型
2、学习使用 Mathematica求一元函数极值的方法 实验内容：
1、圆柱形水塔维修问题 2、驳船的长度问题
4.1实验准备
4.1.1 数学原理：
定理 1（极值的第一充分条件）
设函数 y=f(x)在 x的一个领域内可微（在 x处可以不可微，但必须连续），若当 x在该邻域 内由小于 x连续地变为大于 x时，其导数 f′(x)改变符号，则 f(x)为函数的极值. x为函数的 极值点，并且
（1）若导数 f′(x)由正值变为负值，则 x为函数的极大值点； （2）若导数 f′(x)由负值变为正值，则 x为函数的极小值点； （3）若导数 f′(x)不变号，则 x不是函数的极值点. 运用该定理求函数极值点的一般步骤是：
（1）确定函数定义域并找出所给函数的驻点和导数不存在的点； （2）考察上述点两侧导数的符号，确定极值点； （3）求出极值点处的函数值，得到极值.
定理 2（极值的第二充分条件）
设函数 y=f(x)在 x处的二阶导数存在，若 f′(x)=0，且 f″(x)≠0，则 x为函数的极值点，f(x) 为函数的极值，并且
（1）当 f″(x)>0时，则 x为函数的极小值点，f(x)为函数的极小值； （2）当 f″(x)<0时，则 x为函数的极大值点，f(x)为函数的极大值. 运用该定理求函数极值点的一般步骤是：
（1）确定函数定义域，并找出所给函数的全部驻点； （2）考察函数的二阶导数在驻点处的符号，确定极值点. 4.1.2函数命令：
求一元函数的导数命令 绘制一元函数图形的命令 求解一元函数的根的命令
4.2设计实验
4.2.1圆柱形水塔维修问题
在地面上建有一座圆柱形水塔,水塔内部的直径为 d, 并且在地面处开了一个高为 H 的 小门.现在要对水塔内部进行维修施工 , 施工方案要求把一根长为 s(s>d)的水管运到水塔内 部. 请问水塔的门高 H多高时, 才有可能成功地把水管搬进水塔内?(d=8米, s=8米) 解答：
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