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(1) cos10°cos50°cos70°； (2) tan10°tan50°tan70°； (3) cos20°cos40°cos80°； (4) sin20°sin40°sin80°.
上述各式用积化和差、倍角公式可以求其值，解后引导学生仔细观察分析、总结，发现它们与
60°有密切联系：50°= 60°-10°，70°= 60°+10°，40°= 60°-20°，80°= 60°+20°，且其值分别为 cos(3×10°), tan(3×10°), cos(3×20°), sin(3×20°),引发学生大胆猜想：
（1） cosαcos(60°-α)cos(60°+α)= cos3α； （2） sinαsin(60°-α)sin(60°+α)= sin3α； （3） tanαtan(60°-α)tan(60°+α)= tan3α. 是否对定义域内的α均成立.
通过对三倍角的变形推证，发现上述各式均成立。上述三式结构整齐，容易记忆，在求同名函数之积的三角函数或证明题中，起到简化解题过程，化难为易的作用。这不但完善了三倍角公式的形式，而且比原公式更富有规律性，易于掌握，使用方便，对解此类问题可以“一目了然”。这就是创新，能较好地调动学生的求知积极性，培养学生的创新思维。 学生要有勇于批判、勇于反驳、勇于否定的质疑精神。由质疑进取而求异，才能另辟蹊径，突破传统观念，从而有新发现。因此，在教学中要努力做到以下两点：第一，激发学生向权威挑战，培养质疑精神。学生一旦有了质疑精神，就为创新注入了新鲜的活力，鼓励学生指正教材、资料中的错误，纠正教师讲授的错误与不足；让学生寻找比教材、教师讲法更完美的方法；让学生在学习数学定理、定义、解题中生疑。第二，鼓励学生在质疑中构造反例。从一定意义上看，构造反例的过程就是创新过程，反例是否定谬误的有力武器，而且构造反例，有利于加深对知识的理解，有利于提高反驳能力，进而促进创新。只有大胆质疑，才能有效地培养创新思维。
2.3.3 加强发散思维的培养
发散思维提出者吉尔福特说：“正是发散思维中，我们看到了创造性思维的最明显的标志。”可见，发散思维是创新思维的核心，而知识是发散思维的基础，否则创新思维如无源之水，无本之木。只有掌握扎实的基础知识，才能创新。同时也只有培养学生创新思维，他们才能深刻理解基础知识。在数学教学中，要根据题目的不同结构特点，有意识、有目的地开展一系列“变”的训练，培养学生发散思维。 2.3.3.1 变习惯的正向思维为逆向思维
逆向思维是摆脱思维定势，突破旧有思想框架，产生新思想，发现新知识的重要思维方式。没有突破的创新，只局限于思维定势，思维的发展是难以想象的。所以，教师必须及时捕捉这种活泼的逆向思维的苗子，加以引导，加以深化，加以完善。
学生在运用公式、定义、定理、法则中一般更善于正面直接运用，这样往往会造成一定定势思维。所以，在教学中，教师通过设计逆用公式、定义、定理、法则的例题，及时诱导学生逆向思维，探索结论（或未知）与已知间的联系，从而，在解题中训练学生的逆向思维。对概念、公式、定理、法则要求学生做到正向、逆向、变形三会用，解题时，要尽可能采用分析法和反正法，探索逆命题是否成立。而有些题从正面入手则是非常繁琐的，这时就需从反面入手。如平时用到的“反证法”就是这一数学思维的具体运用。
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2.3.3.2变习惯的单向思维为多向思维
多向思维是发散思维的典型形式。对同一例题采用多种不同的解法，能够拓宽学生的思维空间，培养灵活多变的解题思维能力。教师应鼓励学生从不同方向和角度以及较多渠道和较大范围去灵活地考虑问题，通过寻找题目的简捷解法，反常解法，提出不同寻常的见解。将同一个例题，通过改变题型，或改变条件和结论，或变换图形，或引申推广，让学生去探索、去思考，让学生学会随机应变，举一反三、触类旁通。所以，在解决一个问题后，教师要告诫学生，学习不要囿于书本知识和教师讲授的内容，而应独立思考，对所研究的对象要大胆进行新的构想和探索。要积极开展一题多解、一题多变、一题多思等多向性尝试，以获得更新的知识，掌握更多的方法、技能，变习惯的单向思维为多向思维，以此来培养学生的发散思维，更好地培养学生的创新思维。
通过一题多变，其思维是发散的，其过程是探索性的，其成果是创新的，极大地开拓学生的思维途径与思维空间，收到良好的教学效果。 2.3.3.3 变形象思维为抽象思维
通常，我们习惯将抽象思维转化为形象思维，但我们也要重视形象思维转化为抽象思维。教学时，要准确把握和充分利用教材中的直观材料，加强形象感知，通过对具体事物进行观察、分析、比较，获得理性认识。这种从感性到理性的教学过程也是从形象思维到抽象思维的递进过程，既可使学生了解知识的发生和形成过程，又能掌握认识事物的思维方法。如：教学“平行四边形”时，先从复习小学学过的各种四边形入手，通过展示教材图形、演示教具学具，列举生活实例等，把着眼点放在四条边的位置关系上，以便作出某种检验和猜想。通过实质性的探究，引导学生发现“两组对边分别平行”这个本质特征，再通过理性的抽象，概括出平行四边形的定义。
2.4 注意联想思维和直觉思维的培养
联想是人类特有的思维能力，知识越多，经验越丰富的人，他的联想能力就越强，联想范围就越大，发现新思路，新方法的机会就越多。联想包括接近联想、类似联想、对比联想等。联想思维能使学生进行多角度地观察思考问题，进行大胆猜想，寻求答案，通过对知识的迁移，联想深化，尝试创新的途径，不断探索，提高创新思维能力。在教学中，教师要抓住有利于训练联想思维的时机，强化训练及时指导学生学会联想，善于联想。想象力也是探索活动中进行创新的基础，康德说：“想象力是一种创造性的认识功能。”如：讲极限时，用祖冲之测圆周率时使用的“割圆术”，将圆内接正多边形的边数无限增加，让学生想象其发展趋向。教师应使学生具有扎实的基础知识和丰富的想象力同时，有意识地训练学生在知识的纵横联系、因果分析等过程中培养联想思维。
例1 设Z1、Z2是非零复数，且|Z1+Z2|=|Z1-Z2|，求证： 是纯虚数. 启动学生的思维机器，引导他们广泛联想，多方位探求证法. 如 (1) 有的学生联想复数形式直接进行证明，其思路自然. （2）有的学生联想复数三角形式论证，表现思维流畅.
（3）也有的学生联想复数模的几何意义来证，方法甚为简洁、明快. （4）还有的学生联想到共轭复数与模的性质来证，使证法新颖有趣.
（5）少数学生思维更加活跃，他们联想复数的向量性质，从而获得了极佳的证明.
上述由联想所激起的思维方法，既沟通了各部分知识间的联系，又培养了学生的联想思
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维。
直觉思维即灵感思维。爱因斯坦说得好：真正可贵的思维是直觉思维。如：古人鲁班被茅草划破了手，被茅草的边所感化，发明了锯子。在教学中，应有意识地培养和鼓励学生借助直观、经验，采用类比、归纳的方法，对问题不断感知，迅速从题目内容，结构等方面认知判断，作出大胆猜想，合理的假设，试探性的结论，促使思维的可变跳跃，进而产生突发性的思维灵感，从而解决问题。在中学数学教材中，应用类比推理进行直觉猜想发现问题，解决问题的很多，贯穿于整个教材的始终。如：相似三角形通过全等三角形直觉猜想其性质与判定的；一元一次不等式通过一元一次方程直觉猜想其性质。在平面几何解题过程中，把对图形的直觉与严密的逻辑论证相结合起来，就是培养创新思维的一种典型方法。值得注意的是，直觉思维结论的不完全可靠性决定了其对问题的结论、解法或证法的正确性及可行性，要经过严格的检验，否则有可能步入直觉误区，导致解题失误。
直觉既是数学发现的工具，又是逻辑证明的工具，数学的创新活动始终离不开直觉。因此，在数学教学中一定要重视训练和逐步培养学生整体把握迅速洞察事物本质的直觉思维能力。
3 培养学生的创新能力
3.1 巧设问题 激发创新灵感
解决一般的数学问题多用常规解法，而有些数学问题用常规解法可能较复杂。如果让学生转换问题视角，就容易产生奇异的想法。
例：有人在如图所示的的小路上行走，当他从点A处走到点B处时，共走了多少m？（假设小路的宽度都是1m）
12m A 6mB 此题多数学生采用将这个小路分割成各个小长方形，可以算出它们的面积之和，由于宽度是一样的，由此可以得小路的长度。
提醒学生转换思路，如果把入口封住就是一个矩形。接着一个同学认为：可以想像成球场上服务员用宽为1m的拖把在沿该路往前拖地，他走完小路，就相当于拖把拖遍这块场地，
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而拖1m面积的场地，相当于行人前进了1m，整个场地面积就是72m，则行人走完72m。大家听了这个同学的发言后，都拍手鼓掌，认为这一种方法太妙了,既形象生动，又容易理解。 在教学中,一方面让学生数学地思考问题；另一方面应为学生提供更多的创新思维的条件，激发学生的创新灵感。
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3.2 利用图形变式 培养创新思维
在数学教学中,创新能力的培养不仅体现在学生如何解题，更应鼓励学生在自行改变条件、自行求解的过程中去发现新问题、拓展思路、培养创新思维。
例：已知(如图1)所示，在正方形ABCD中，E、F分别是CD、DA上的点， AE⊥BF，求证：AE＝BF。在这个问题上适当改变条件，有如下的变式：
变式一：(如图2)所示，若将AE往下平移至GE(保持GE与HF垂直)，此时GE与HF相等吗?
先示范变式一，对学生提出问题：你能将这个题目的某些条件或结论再作变化，编出新的题目吗? 学生经过讨论后，提出如下一些变式：
变式二：(如图3)所示，若将BF往右平移至HF(保持HF与AE垂直)，此时HF与AE相等吗?
变式三：(如图4)所示，设GE与HF的交点为O,若此交点在正方形外,在上述前提下，原题的结论还成立吗?
变式四：(如图5)所示，在正方形ABCD中，E、F分别是CD、DA上的点，
AE＝BF，求证：AE与BF垂直吗? (结论不成立：如图B1F＝AE，但B1F不与AE垂直))
A
F O D E
A G F O D E
A F O D E
C B 图1
G O
E A D F
B C
H
图4
B 图2
C
B H
图3
C
A F D E
B 图5
N
C B1
通过这样的图形变式，不仅能巩固所学的知识,开阔学生的视野,收到举一反三、触类旁通的效果，还能让学生创新的火花随时迸发出来，活跃思维。
3.3 联系生活实际 培养创新精神
学习数学的目的在于应用。在教学中让学生体会到数学源于生活,用于现实,即“生活即数学”。在解决实际问题的过程中鼓励学生立足实际，敢于质疑，合情推理，充分发挥学生的主体作用，培养学生的创新精神。
在“一次函数的应用”的举例中，举了手机费用问题如下： 例：某电信公司手机的A、B两类收费标准如下表：
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收费种类 A类 B类 月租费 50 0 基本通话费(元/分) 0．4 0．6 ①.请写出A、B两类收费标准每月应缴费用 y(元)与通话时间x(分)之间的函数关系式； ②、请你们帮王明想想,他选哪一种才合算? 问题一出，大家兴趣盎然，纷纷发表意见。 生1：设通话时间为x分钟，
则A类通话费用为：y1＝0.4x＋50 (x是非负整数)； B类通话费用为：y2＝0.6x ( x是非负整数)
生2：选谁还要比较y1和y2的大小，y2－ y1＝0.2x－50，以下应分情况讨论。 师：具体情况如何呢? 生3：有三种情况：
当0.2x－50＜0，即x＜250时，y2－ y1＜0，选B类通话方式合算。
当0.2x－50＝0，即x＝250时，y2－ y1＝0，选A、B两类通话方式都可以。 当0.2x－50＞0，即x＞250时，y2－ y1＞0，选A类通话方式合算。 师：还有不同的方法吗?
生4：可以用图象的方法来处理。图象如下：
y(元)
l1 l2 50 o 250 x(分)
师：实际上交点的横坐标是通过计算得到的。这两位同学合在一起体现了数形结合的思想，这个手机费用的数学模型实质是一个取非负实数的一次函数。
生5：我觉得刚才的函数关系式有问题，实际生活中手机费用不足1分钟仍按1分钟收取,并不是打半分钟只收一半的钱。
我明白学生的意思，按实际列式，手机费用应为一个分段函数而非一个连续函数，现在的处理是把问题理想化了，并不是按实际来处理的。
借此又引出问题：按实际收费标准如何表示手机通话费用与通话时间的函数关系式呢? 考虑到学生的认知水平，我介绍了取整函数的表示方法。这时同学们讨论的积极性更高，大家在交流过程中顺利地得出了答案：
手机通话费用与通话时间的函数关系式：
y1＝
0.4x＋50 (x是非负整数)
y2＝
0.4﹙﹝x﹞＋1﹚＋50 (x＞0，且是非负整数) 0.6x (x是非负整数) 0.6﹙﹝x﹞＋1﹚ (x＞0，且是非负整数)
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