17. 用克拉默法则解下列方程组
?x1?2x2?3x3?2x4??2x1?x2?2x3?3x4(1) ??3x1?2x2?x3?2x4?2x?3x?2x?x234?1?x1?4x2?x3?14x4??2??8?x1?x2?x3?x4?5 ; (2) ? ?4?x1?2x2?x3?4x4??2?2x?x?x?x?2??8234?1?5x1?6x2?1?x?5x2?6x3?0?1??x2?5x3?6x4?0 ?x?5x?6x?045?3??x4?5x5?1?6?x1?2x2?2x3?4x4?x5??1?2x?x2?3x3?4x4?2x5?8?1?(3) ?3x1?x2?x3?2x4?x5?3; (4)
?4x?3x?4x?2x?2x??22345?1??x1?x2?x3?2x4?3x5??318. 设水银密度h与温度t的关系为
h?a0?a1t?a2t?a3t23
由实验测定得以下数据：
t|0?Ch|13.6010?C13.5720?C13.5530?C13.52
求t?15?C,40?C时水银密度(准确到小数两位).
19 在几何空间中有不在同一直线上的三点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)和
M3(x2,y2,z3)，试建立用行列式表示的过这三点的平面方程.
20. 设
L1:?x??y???0, L2:?x??y???0,
L3:?x??y???0,是三条不同的直线，若L1,L2,L3交于一点，试证： ??????0
第二章 矩 阵
1. 设A是n阶矩阵，k是一个数，试问det(kA)与kdet(A)有什么关系？
?3?2. 设A??2?1?1121??1??2,B?2????13??1?10?1??0，计算AB,AB?BA. ?1??3. 计算
(1)
?2?3??0?1111??0?2??2?1; (2) ??01??cos?; (3) ??1??sin?n?sin???; cos??n(4) ??312?4???0?; (5) 5???7????3???4???0????3?7????3????112?5?; (6) ?0?0??00??1????n;
(7) ?xy?a11?1?a21??b?1a12a22b2b1??x????b2y; (8) ?????c???1??1??1???1???1?11?1?1?1?11?1?1???1??1??1?n
4. 求所有与矩阵A可交换的矩阵.
?1?(1)A?0??3?0110??2;?2???0?(2)A?0??0?1000??1 ?0??5. 证明：若n阶矩阵A与所有的n阶矩阵可交换,那么A一定是数量矩阵. 6. 在中学代数中,有平方差公式(a?b)(a?b)?a2?b2,现设A,B是两个n阶矩阵,问对于矩阵是否有(A?B)(A?B)?A2?B2成立?为什么?
7. 用Eij表示i行j列的元素为1,而其余元素全为零的n?n矩阵,而
A?(aij)n?n.证明：
(1) 如果AE12?E12A,那么当k?1时ak1?0,当k?2时a2k?0; (2) 如果AEij?EijA,那么当k?i时aki?0,当k?j时ajk?0且aii?ajj; (3) 如果A与所有的n阶矩阵相乘可交换,那么A一定是数量矩阵,即A?aE. 8. 如果A?12(B?E),证明：A2?A当且仅当B2?E.
9. 矩阵A称为对称的,如果AT?A,证明：如果A是实对称阵且A2?0,那么
A?0.
10. 矩阵A称为反对称的,如果AT??A,证明:任一n?n矩阵都可以表示为一对称阵与一反对称阵之和.
11. 设A?(aij)是n阶矩阵,则A主对角线上元素之和a11?a22???ann称为矩阵A的迹,记为trA. 设A,B为n阶矩阵,k是常数,求证：
(1) tr(A?B)?trA?trB； (2) tr(k?A)?k?trA； (3) tr(AB)?tr(BA). 12. 求证：
(1) 上(下)三角阵的逆矩阵也是(下)三角阵； (2) 对称矩阵的逆矩阵也是对称矩阵； (3) 反对称矩阵的逆矩阵也是反对称矩阵.
?1?13. 设A??0?0?2403??5,用初等变换的方法求A?1,通过求A?1来回答下面的问?6??题：可逆的上三角阵
?b11?0?B?????0b12b220??b1n??b2n? ???bnn??的逆矩阵还是上三角阵吗?为什么?
14. 解矩阵方程.
?2?(1) X?1??1?2?123??1??0??1???1???2?1100??1; ?1??0201??0. ?1???1?(2) X?AX?A2?E,其中A??0?1?15. 若n阶矩阵A,B都可逆,问A?B,AB也可逆吗?为什么? 16. 把下列矩阵化为它的等价标准形.
?2?3?(1) A???1??41214?11111??0??02?; (2) A????32???3??11?1211103?1??2? ?1??2??1?17. 设A??1?0??2?1?101?10??Er?1,求可逆矩阵P与Q,使得PAQ????0?1??0??0?.
18. 求A?1,设
?2?(1) A??1??1?2?123??1??0; (2) A?2????11??11?1?1?1??1?0;(3) A????10????1127?3001?10??0?; 8???6?11?1?11?11?11???1?; ?1??1??1?2(4) A???1??1?2?0?(6) A??0??0?0?231012000311?201200001204??2??23?; (5) A???5?1????6???10??0?0? ?1?2??19. 若A,B为n阶矩阵, En?AB可逆,求证：En?BA也可逆. 20. 对n阶矩阵A,B,求证： (AB)*?B*A*. 21. 求证：若n?2,则(A*)*?|A|n?2A. 22. 计算下列分块矩阵的乘法.
23. 设有分块矩阵C???0?BA??,其中A,B0?为可逆矩阵,求C的逆矩阵.
24. 设A,B为n阶方阵,求证：
25. 设AB?BA,求证:
AB?BA?|A?B|
22ABBA?|A?B||A?B|
26. 设A是4阶矩阵, |A|?2, 求|4A?1?A*|的值. 27. 设A是n阶方阵且A2?A,求证: En?2A是可逆矩阵.
28. 若n?3,求证下列行列式的值为零.
1?x1y11?x2y1?1?xny11?x1y21?x2y2?1?xny2????1?x1yn1?x2yn?1?xnyn
29. 设A,B,C,D都是n阶矩阵,求证：
AM?BCDBADCCDABDCBA?|A?B?C?D||A?B?C?D||A?B?C?D||A?B?C?D|
30. 设A,B分别是n?m和m?n矩阵.证明：
EmABEn?|En?AB||Em?BA|
31. 设A,B分别是n?m和m?n矩阵, ??0.证明：
|?En?AB|??n?m|?Em?BA|
32. 设A,B分别是n阶方阵,证明：若A?B,A?B都是可逆矩阵,则?是可逆矩阵,并求其逆矩阵.
?E(提示：??0E??A??E??BB??E??A??0?E??A?B???E??B??). A?B?0?A?BB??A?也
33. 设A,B,C,D都是n阶方阵, A是可逆矩阵, 且AC?CA. 求证：