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第三章 线性空间
1. 已知向量
?1??1,0,3,0?,?2??0,1,1,0?,?3??0,0,1,2?,
求解下列向量方程5x?2?1??2??3.
2. 已知向量
?1??1,0,0,0?,?2??0,1,0,0?,?3??0,0,1,0?,?4??0,0,0,1?，a??2,0,3,1?.
求x1,x2,x3,x4使得a?x1?1?x2?2?x3?3?x4?4.
3. 设向量组?1,?2,?3线性无关，?2,?3,?4线性无关，问?1,?2,?3,?4是否线性无关？
4. 若?，?，?是三个n维向量，?与?线性无关，?与?线性无关，?与
?线性无关. 问?，?，?是否线性无关？
5. 已知m个向量?1,?2,?,?m线性相关，但其中任意m?1个向量都线性无关，证明
（1）如果k1?1?k2?2???km?m??，则k1,k2,?,km或者全为0，或全不为0. （2）如果存在两个等式
k1?1?k2?2???km?m??， l1?1?l2?2???lm?m??，
其中l1?0，则
k1l1?k2l2???kmlm.
6. 设?，?，?线性无关，证明???，???，???也线性无关. 7. 设n维列向量?1,?2,?,?m线性无关，则A?1,A?2,?,A?m线A是可逆阵，性无关.
8. 设?可由向量组?1,?2,?,?m线性表示，但不能由其中任何一个个数少于
m的部分向量组线性表示，求证：?1,?2,?,?m线性无关.
9. 设?1,?2,?,?n是一组n维向量，如果单位向量?1,?2,?,?n可由它们线性表示，则?1,?2,?,?n线性无关.
10.设?1,?2,?,?n是一组n维向量，证明：?1,?2,?,?n线性无关的充要条件是任一n维向量都可以由它们线性表示.
11. 设?1??2??3????r,?2??1??3????r,?,?r??1??2????r?1，证明?1,?2,?,?r与?1,?2,?,?r有相同的秩.
r12. 设?1,?2,?,?r是一组线性无关的向量，?i?明：?1,?2,?,?r线性无关的充要条件是
a11a21?ar1a12a22?ar2????a1ra2r?arr?0.
?aj?1ij?j,i?1,2,?,r. 证
13. 一个向量组的任何一个线性无关的向量组都可以扩充为一极大无关组. 14.求证：n阶方阵A是幂等矩阵（A2?A）的充分必要条件是
R(A)?R(En?A)?n.
15.设A是n阶方阵，求证：A2?En的充分必要条件是
R(En?A)?RE(n?A?)n
16.设A是n阶方阵，求证：r(En?A)?r(A)?n.
17. 判别下列集合对于指定的运算是否构成相应的数域上的线性空间？ （1）次数等于n(n?1)的实系数多项式的集合，对于多项式的加法与实数与多项式的乘法；
（2）数域P上n维向量的集合，按通常的向量加法，而数乘定义为
k(a1,a2,?,an)?(a1,a2,?,an).
（3）[0,1]区间上可导函数的全体在函数的加法及数乘下，这里数域是实数域；
（4）平面上全体向量，对于通常的加法及如下定义的数乘：
k??0.
（5）全体正实数R?，加法与数乘定义为：
a?b?b;k?a?ak.
?2?31???5?13.给出4维线性空间P2?2的一组基，并求矩阵A??坐标.
14.求向量??(a1,a2,?,an)在基
在所给的基下的
?1?(1,1,?1,1),?2?(1,1,?1,0),?,?n?(1,0,?0,0)
下的坐标.
15.设V实数域上次数不超过n的多项式全体所称的实线性空间，求证：
1,x,x,?,x2n是V的一组基.
16.设V是数域P上n阶上三角阵所成的集合，证明：在矩阵的加法及数乘下V是线性空间，并求出V的维数.
17.设V是数域P上n阶上对称矩阵所成的集合，证明：在矩阵的加法及数乘下V是线性空间，并求出V的维数.
18.设?1,?2,?,?n是线性空间V的一组基，?1,?2,?,?n是V中的一组向量，如果?1,?2,?,?n与?1,?2,?,?n等价，那么?1,?2,?,?n也是线性空间V的一组基.
19.设W1，W2是线性空间V的两个子空间，且W1?W2，证明：如果
dimW1?dimW2，则W1?W2.
20.设A?Pn?n，
（1）证明：全体与A可交换的矩阵组成Pn?n的一个子空间C(A)； （2）当A?E时，求C(A)； （3）当
?1?0A??????002?0????0??0? ???n?时，求C(A)的维数及它的一组基.
21. 设W1,W2,?,Ws是数域P上线性空间V的s个真子空间，证明：在V必存在一个向量?，它不属于W1,W2,?,Ws中任何一个.
22.设?1,?2,?,?n是n维线性空间V的一组基，A是一个n?s矩阵，
(?1,?2,?,?s)?(?1,?2,?,?n)A.
证明：L(?1,?2,?,?s)的维数等于A的秩.
23.设W1，如果?1,?2,?,?r与?1,?2,?,?s分W2是线性空间V的两个子空间，别是W1与W2的基，且W1?W2是直和，则?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?s就是W1?W2的一组基.
24. 设n阶方阵A?(aij)的行列式等于零，则A*的秩不超过1. 25.设W1，W2分别是数域P上的齐次线性方程组
?x1?x2???xn. ??x1?x2???xn?0证明：n维列向量空间V?W1?W2.
26.求下列齐次线性方程组的基础解系：
?x1?x2?x3?x4?x5?0,??3x1?2x2?x3?x4?3x5?0,(1) ?
x?2x?2x?6x?0,2345??5x?4x?3x?3x?x?0;2345?1?x1?x2?2x3?x4?0,??x1?2x2?x3?x4?0,(2) ?
x?2x?x?0,234??2x?4x?x?x?0.234?127.讨论?,a,b取何值是，下列方程组有解，并求解：
??x1?x2?x3?1,?(1) ?x1??x2?x3??,
?2x?x??x??;23?1?ax1?x2?x3?4,?(2) ?x1?bx2?x3?3,
?x?2bx?x?4.23?128.?取何值时线性方程组