1. 用g(x)除f(x)，求商q(x)及余式r(x)： (1) f(x)?x4?2x3?3x?1， g(x)?x2?2x?3； (2) f(x)?x3?x2?2x?3， g(x)?2x2?x?1.
22. 设f(x)?x4?2x3?3x2?ax?b，g(x)?x?3x?1. 如果g(x)除f(x)后余
式为x?3，试求a,b的值.
3. m,p,q满足什么条件时，有 (1) x2?3x?2|x4?mx2?px?2; (2) x2?mx?1|x4?px2?q.
4. 利用综合除法将多项式f(x)?x4?6x3?12x2?5x?7按x?1的方幂展开. 5. 证明：如果f(x)|g(x)，且degf(x)?degg(x)，则g(x)|f(x). 6. 证明：如果x|fk(x)，则x|f(x). 其中k为正整数.
7. 如果(x?1)|f(xn)，问是否必有(xn?1)|f(xn)？如果不成立，请给出反例，如果成立，请说明理由.
8. 求f(x)与g(x)的最大公因式：
(1) f(x)?3x4?6x3?5x2?5x?2，g(x)?x5?4x3?x2?3x?1； (2) f(x)?x4?4x3?1， g(x)?x3?3x2?1.
9. 求u(x),v(x)使得u(x)f(x)?v(x)g(x)?(f(x),g(x))：
(1)f(x)?3x5?5x4?16x3?6x2?5x?6，g(x)?3x4?4x3?x2?x?2； (2)f(x)?x4?x3?4x2?4x?1，g(x)?x2?x?1.
310. 设f(x)?x3?(1?t)x2?x?u，g(x)?x?tx?u的最大公因式是一个二次
多项式，求t,u的值.
11. 证明：(f(x)h(x),g(x)h(x))?(f(x),g(x))h(x)，其中h(x)的首项系数为1.
12. 设u(x)f(x)?v(x)g(x)?d(x)，请举例说明d(x)不一定是f(x)与g(x)的最大公因式.并证明：d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式，当且仅当d(x)是它们的公因式.
13. 证明：如果d(x)|f(x)，d(x)|g(x)，且d(x)是f(x)与g(x)的一个组合，那么d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式.
14. 设f(x),g(x)是不全为零的两个一元多项式，求证：
??f(x)g(x),???1.
(f(x),g(x))(f(x),g(x))??15. 设h(x)是一元多项式f(x)与g(x)的一个公因式且首项系数为1. 证明：
?f(x)g(x)?(f(x),g(x)),. ???h(x)h(x)h(x)??16. (f(x),g(x))?1?(f(x)g(x),f(x)?g(x))?1 17. 如果一元多项式f(x)与g(x)不全为零，且
u(x)f(x)?v(x)g(x)?(f(x),g(x))，
则(u(x),v(x))?1.
18. 证明：只要满足等式
u(x)f(x)?v(x)g(x)?(f(x),g(x))
f(x)(f(x),g(x)),g(x)(f(x),g(x))的次数大于零，就可以适当的选择
的u(x)与v(x)，使得
degu(x)?degf(x)(f(x),g(x)),degv(x)?degg(x)(f(x),g(x)).
19. 如果多项式m(x)满足： (1) f(x)|m(x)，g(x)|m(x)；
(2) f(x),g(x)的任一个公倍式都是m(x)的公倍式，
则称m(x)为f(x),g(x)的一个最小公倍式，记为[f(x),g(x)]. 证明：如果
f(x),g(x)的首项系数都是1，那么
[f(x),g(x)]?f(x)g(x)(f(x),g(x)).
20. 设p(x)是次数大于零的多项式，如果对于任意多项式f(x),g(x)，由
p(x)|f(x)g(x)可以推出p(x)|f(x)或者p(x)|g(x)，那么p(x)是不可约多项式.
21. 设f(x),g(x)是不全为零的两个一元多项式，求证：
(f,g)n?(fn,gn) （n为正整数）. 22. 设f(x),g(x)是不全为零的两个一元多项式，且
P??f(x)s(x)?g(x)t(x)|s(x),t(x)?P[x]?.
证明：P中次数最低的多项式是f(x)与g(x)的最大公因式.
23. 设f1(x),f2(x),?,fn(x)的最大公因式是d(x)，则必存在
g1(x),g2(x),?,gn(x)，使得
f1(x)g1(x)?f2(x)g2(x)???fn(x)gn(x)?d(x).
特别地，f1(x),f2(x),?,fn(x)互素?存在g1(x),g2(x),?,gn(x)使得
f1(x)g1(x)?f2(x)g2(x)???fn(x)gn(x)?d(x).
24. 设f(x),g(x)是数域P上的两个一元多项式，k为给定的正整数. 证明：
f(x)|g(x)?f(x)|g(x).
kk
25. 如果一元多项式f(x)与g(x)互素，则f(xk)与g(xk).其中k为正整数. 26. 判别下列多项式有无重因式： (1) f(x)?x4?6x3?2x2?x?1； (2) f(x)?x4?4x3?2x2?4x?3. 27. 求s,t使得下列多项式有重根： (1) f(x)?x4?x3?sx2?x?1； (2) f(x)?x3?sx?t.
28. 设p(x)是一个不可约多项式. 证明p(x)是f(x)的k重因式，当且仅当
p(x)|f(x),p(x)|f?(x),?,p(x)|f(k?1)(x),p(x)|f(k)(x).
29. 举例说明，若不可约多项式p(x)是f?(x)的k?1重因式，而p(x)不一定是f(x)的k重因式. 又当p(x)是f(x)的因式时情形如何？
30. 求xk?1在实数域及复数域上的因式分解. 其中k为正整数. 31. 证明：c?1是多项式f(x)?x3?3x2?8x?4实根的一个上界. 32. 求下列多项式的有理根： (1) f(x)?x3?3x2?8x?4； (2) f(x)?2x3?5x2?x?3； (3) f(x)?4x4?x3?3x?6.
33. 设f(0),f(1)都是奇数，则f(x)没有整数根. 34. 证明下列多项式在有理数域上不可约： (1) 7x4?3x3?3x?6； (2) x6?10x4?2； (3) xp?px?p，p为素数. 35. 若p为素数，证明：
f(x)?xp?1?xp?2???x?1
在有理数域上不可约.
36. 设f(x)?anxn?an?1xn?1???a1x?a0?0,an?0为整系数多项式. 如果
存在素数p满足： (1) p?|a0；
(2) p|ai,i?1,2,?,n； (3) p2?|an，
则f(x)在有理数域上不可约，是否正确？
37. 设既约分数
pq是整系数多项式f(x)?anxn?an?1xn?1???a1x?a0?0的
根，证明：p|a0，q|an.
38. 设f(x)?anxn?an?1xn?1???a1x?a0?0是实系数多项式，证明： (1) 如果(?1)iai全是正数，则f(x)没有负实根； (2) 如果(?1)iai全是负数，则f(x)没有负实根； (3) 如果ai全正或全负，则f(x)没有实数根.
39. 设f(x)?(x?a1)(x?a2)?(x?an)?1，其中ai(i?1,2,?,n)是两两不同的整数. 证明：f(x)在有理数域上不可约.
40. 设p为素数，a为整数，p2|a?1，f(x)?axp?px?1，证明：f(x)没有有理根.
41. 设f(x)是有理数域上的n(n?2)次多项式，且在有理数域上不可约，如果f(x)一个根的倒数也是f(x)的根. 证明：f(x)每一个根的倒数也是f(x)的根.
42. 一个非零复数?是某一有理系数非零多项式的根当且仅当存在一个有理系数多项式f(x)使得f(?)?1?.
43. 用初等对称多项式表出下列对称多项式： (1) (x1?x2)(x2?x3)(x3?x1)； (2) (x1x2?x2)(x2x3?x3)(x3x1?x1)； (3) x12x22?x12x32?x22x32?x22x12?x32x12?x32x22；
33?x3?(x1?x2)(x2?x3)(x3?x1) (4) x13?x244. 设
f(x)?a0x?a1xg(x)?b0xmnn?1???an?1x?an，
?b1xm?1???bm?1x?bm.
称下面的m?n阶行列式：
a000?R(f,g)?0b00?0a1a00?0b1b0?0a2a1a0??b2b1?0????a0????anan?1an?2?????b00an??0??b1??000?an0??bman?1???????
为f与g的结式. 证明：多项式f(x)与g(x)有公共根的充分必要条件是它们的结式R(f,g)?0.
第六章 特征值
1. 求下列矩阵的特征值与特征向量：
?1?2??0??0?130000210??0?. 3??4??1?(1) ?1?2?1400??3； (2) ?2???0?1??0?1000??0； (3) ?1??2. 已知???a1,a2,?,an?,???b1,b2,?,bn?是两个非零向量且????0，求矩阵A????的全部特征值.
3. 设A使线性空间V上的线性变换，V有一个直和分解：
V?V1?V2???Vm，
其中每个Vi是A的不变子空间. 设A限制在Vi上的特征多项式为fi(?)，求证：
A的特征多项式
f(?)?f1(?)f2(?)?fm(?).
4. 证明：n阶矩阵A以任一非零n列向量为特征向量的充分必要条件是
A?cE，其中c是常数.