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簧的劲度系数k和阻尼因数?．
6-20 弹簧振子的固有频率为2.0Hz，现施以振幅为100dyn谐变力，使发生共振。已知共振时的振幅为5.0cm，求阻力系数?和阻力的幅度。
6-21 设有两个同方向同频率的简谐振动x1=Acos(?t+?/4)，x2=3Acos(?t+3?/4)。求合成振动的振幅和初相位。
6-22 说明下面两种情形下的垂直振动合成各代表什么运动，并画出轨迹图来。两者有什么
?x?Acos?t?x?Asin?t区别 (1) ? （2）?
?y?Asin?t?y?Bcos?t
6-23 两支C调音叉，其一是标准的256Hz，另一是待校正的。同时轻敲这两支音叉，在20s内听到10拍。问待校音叉的频率是多少。
6-24 本题图为相互垂直振动合成的李萨如图形。已知横方向振动的角频率为?，求纵方向振动的角频率。
6-25 已知平面简谐波在t=0时刻的波形如本题图所示，波朝正x方向传播。 (1)试分别画出t=T/4、T/2、3T/4三时刻的u-x曲线； (2)分别画出x=0、x1、x2、x3四处的u-t曲线。
6-26 本题图为t=0时刻平面简谐波的波形，波朝负x方向传播，波速为v=330m/s。试写出波函数u(x,t)的表达式。
6-27 设有一维简谐波u(x,t)?2.0?cos2???t?0.010?x??，式中x、u的单位为cm，t的单30?位为s．求振幅、波长、频率、波速，以及x=10cm处振动的初相位。
6-28 写出振幅为A、频率为v、波速为c、朝正x方向传播的一维简谐波的表达式。
6-29 频率在20至20×103Hz的弹性波能触发人耳的听觉。设空气里的声速为330m/s，求这两个频率声波的波长。
6-30 人眼所能见到的光(可见光)的波长范围是400nm(紫光)到760nm(红光)，求可见光的频率范围(光速c=3×108m/s)。
6-31 一无限长弹簧振子链，所有弹簧的劲度系数皆为k，自然长度为a/2，振子质量m和m′相间。试证明：此链有两支频谱，即对应每个波数k有两个角频率?1(k)和?2(k)，在m>>m’
?1(k)?2km2km'sinka2 ( 声频支)的情况下有：
?2(k)?，对于低频的声频支，A'?A，即
~~ ( 光频支)~~m、m′的振动同相位，对于高频的光频支，A'??m'A/m，即m、m′的振动反相位，且与m′相比，m几乎不动。
6-32 本题图中O处为波源，向左右两边发射振幅为A、角频率?的简谐波，波速为c．BB’为反射面，它到O的距离为5?/4。试在有无半波相位突变的两种情况下，讨论O点两边合成波的性质。
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6-33 本题图中所示为某一瞬时入射波的波形，在固定端全反射。试画出此时刻反射波的波形。
6-34 入射简谐波的表达式为u(x,t)?Acos?2?????t?T?x??????，在x=0处的自由端反射，??4?设振幅无损失，求反射波的表达式。
6-35 设入射波为u(x,t)?Acos2???t?T?x??，在x=0处发生反射，反射点为一自由端。求??(1)反射波的表达式；(2)合成的驻波的表达式，并说明哪里是波腹，哪里是波节。
6-36 在同一直线上相向传播的两列同频同幅的波，甲波在A点是波峰时乙波在B点是波谷，A、B两点相距20.0m．已知两波的频率为100Hz，波速为200m/s，求AB联线上静止不动点的位置。
6-37 利用表面张力波的色散关系(6.95)式求其群速，并证明相速等于群速时相速最小。
6-38 (1)沿一平面简谐波传播的方向看去，相距2cm的A、B两点中B点相位落后?/6．已知振源的频率为10Hz，求波长与波速。(2)若波源以40cmm/s的速度向着A运动，B点的相位将比A点落后多少?
6-39 两个观察者A和B携带频率均为1000Hz的声源。如果A静止，B以10m/s的速率向A运动，A和B听到的拍频是多少？设声速为340m/s．
6-40 一音叉以2.5m/s的速率接近墙壁，观察者在音叉后面听到拍音的频率为3Hz，求音叉振动的频率。已知声速340m/s．
6-41 装于海底的超声波探测器发出一束频率为3000Hz的超声波，被迎面驶来的潜水艇反射回来。反射波与原来的波合成后，得到频率为以240的拍。求潜水艇的速率。设超声波在海水中的传播速度为1500m/s.
6-42 求速度为声速的1.5倍的飞行物艏波的马赫角。
第七章 万有引力
7-1 试由月球绕地球运行的周期(T = 27.3天)和轨道半径(r = 3.85×105 km)来确定地球的
质量ME。设轨道为圆形。 这样计算的结果与标准数据比较似乎偏大了一些，为什么？
7-2 在伴星的质量与主星相比不可忽略的条件下，利用圆轨道推导严格的开普勒常量的公式。 7-3 我们考虑过月球绕地球的轨道问题，把地心看作一固定点而围绕着它运动。然而实际上
地球和月球是绕着它们的共同质心转动的。如果月球的质量与地球相比可以忽略，一个月要多长？已知地球的质量是月球的81倍。
7-4 众所周知，四个内层行星和五个外层行星之间的空隙由小行星带占据,而不是第十个行
星占据。这小行星带延伸范围的轨道半径约为从2.5 AU到3.0 AU．试计算相应的周期范围，用地球年的倍数表示。 7-5 已知引力常量G、地球年的长短以及太阳的直径对地球的张角约为0.55°的事实，试计
算太阳的平均密度。
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7-6 证明在接近一星球表面的圆形轨道中运动的一个粒子的周期只与引力常量G和星球的平
均密度有关。对于平均密度等于水的密度的星球(木星差不多与此情况相应)，推算此周期之值。
7-7 已知火星的平均直径为6900 km，地球的平均直径为1.3×104 km， 火星质量约为地球
质量的0.11倍。试求： (1) 火星的平均密度ρ
M与地球密度
ρ
E之比；
(2) 火星表面的g值。
7-8 计划放一个处于圆形轨道、 周期为2小时的地球卫星。 (1) 这个卫星必须离地表面多高？ (2) 如果它的轨道处于地球的赤道平面内，而且与地球的转动方向相同，在赤道海平面
的一给定地方能够连续看到这颗卫星的时间有多长？
7-9 要把一个卫星置于地球的同步圆形轨道上，卫星的动力供应预期能维持10年，如果在
卫星的生存期内向东或向西的最大容许漂移为10°，它的轨道半径的误差限度是多少？
7-10 为了研究木星的大气低层中的著名“大红斑”，把一个卫星放置在绕木星的同步圆形轨
道上，这卫星将在木星表面上方多高的地方？ 木星自转的周期为9.6小时，它的质量MJ 约为地球质量的320倍，半径RJ 约为地球半径的11倍。
7-11 一质量为M的行星同一个质量为M/10的卫星由互相间的引力吸引使它们保持在一起，
并绕着它们的不动质心在一圆形轨道上转，它们的中心之间的距离是D， (1) 这一轨道运动的周期有多长？
(2) 在总的动能中，卫星所占比例有多少？忽略行星和卫星绕它们自轴的任何自转。
7-12 哈雷彗星绕日运动的周期为76年，试估算它的远日点到太阳的距离。
7-13 在卡文迪许实验中(见图7-10)，设M 与 m的中心都在同一圆周上，两个大球分别处
于同一直径的两端，各与近处小球的球心距离为 r = 10.0 cm， 轻杆长l = 50.0 cm，
-3
M = 10.0 kg， m = 10.0 g，悬杆的角偏转θ= 3.96×10rad， 悬丝的扭转常量D = 8.34
-8 22
×10kg·m/s , 求G .
7-14 在可缩回的圆珠笔中弹簧的松弛长度为3 cm，弹簧的劲度系数大概是0.05 N/m． 设
想有两个各为10.000 kg的铅球，放在无摩擦的面上，使得一个这样的弹簧在非压缩状态下嵌入它们的最近两点之间。
3
(1) 这两个球的引力吸引将使弹簧压缩多少？铅的密度约11000 kg/m .
(2) 使这个系统在水平面内转动，在什么转动频率下这两个铅球不再压缩弹簧？
7-15 将地球内部结构简化为地幔和地核两部分，它们分别具有密度ρM和ρC，二者之间的
24
界面在地表下2900 km深处。试利用总质量M E = 6.0×10kg和转动惯量I E = 0.33 M
2
E R E 的数据求 ρM和ρC.
7-16 利用上题的模型和数据来计算，地球内部何处的重力加速度最大。
7-17 一个不转动的球状行星，没有大气层，质量为M ，半径为R . 从它的表面上发射一质
量为m的粒子，速率等于逃逸速率的3/4．根据总能量和角动量守恒，计算粒子 (a)沿径向发射 (b)沿切向发射所达到的最远距离(从行星的中心算起)。
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7-18 设想有一不转动的球状行星，质量为M，半径为R ，没有大气层。 从这行星的表面
发射一卫星，速率为v0，方向与当地的竖直线成 30°角。 在随后的轨道中，这卫星所达到的离行星中心的最大距离为5R/2. 用能量和角动量守恒原理证明 v0 = (5GM/4R)1/2.
7-19 一质量为m的卫星绕着地球(质量为M )在一半径为r的理想圆轨道上运行。 卫星因
爆炸而分裂为相等的两块， 每块的质量为m/2. 刚爆炸后的两碎块的径向速度分量等于v0/2， 其中v0是卫星于爆炸前的轨道速率； 在卫星参考系中两碎块在爆炸的瞬间表现为沿着卫星到地心的连接线分离。
(1) 用G、M、m和r表示出每一碎块的能量和角动量(以地心系为参考系)。
(2) 画一草图说明原来的圆轨道和两碎块的轨道。 作图时，利用卫星椭圆轨道的长轴
与总能量成反比这一事实。
7-20 彗星在近日点的速率比在沿圆形轨道上运行的行星约大几倍？［提示：彗星的轨道非常狭长］
7-21 假设SL9彗星与木星的密度一样，试计算它被撕碎的洛希极限在木星表面上空多少千米。
7-22 试根据图7-61估算SL9彗星碎片与木星相撞时的相对速度。
第八章 相对论
8-1 一艘空间飞船以0.99c的速率飞经地球上空1000 m高度，向地上的观察者发出持续2
×10-6 s的激光脉冲. 当飞船正好在观察者头顶上垂直于视线飞行时，观察者测得脉冲讯号的持续时间为多少？ 在每一脉冲期间相对于地球飞了多远？
8-2 1952年杜宾等人报导，把 π 介子加速到相对于实验室的速度为(1- 5)×10c时，它
在自身静止的参考系内的平均寿命为2.5×10-8 s ，它在实验室参考系内的平均寿命为
多少？通过的平均距离为多少？
8-3 在惯性系K中观测到两事件发生在同一地点，时间先后相差2 s．在另一相对于K运动
的惯性系K′中观测到两事件之间的时间间隔为3 s．求K′系相对于K系的速度和在
其中测得两事件之间的空间距离.
8-4 在惯性系K中观测到两事件同时发生，空间距离相隔1 m．惯性系K′沿两事件联线的
方向相对于K运动，在K′系中观测到两事件之间的距离为3 m．求K′系相对于K系的速度和在其中测得两事件之间的时间间隔。
222
8-5 一质点在惯性系K中作匀速圆周运动，轨迹方程为x + y = a, z = 0, 在以速度V相对于K系沿x方向运动的惯性系K′中观测，该质点的轨迹若何？
8-6 斜放的直尺以速度V相对于惯性系K沿x方向运动，它的固有长度为l0， 在与之共动
的惯性系K′中它与x′轴的夹角为θ′.试证明：对于K系的观察者来说，其长度l和与x轴的夹角θ分别为
+
-5
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l?l0(1?V2/ccos?')?sin?,222tan??tan?'1?V2/c2.
8-7 惯性系K′相对于惯性系K以速度V沿x方向运动，在K′系观测， 一质点的速度矢量
v′在x′y′面内与x′轴成θ′角. 试证明：对于K系，质点速度与x轴的夹角为 tan??
8-8 一原子核以0.5c的速率离开某观察者运动。原子核在它的运动方向上向后发射一光子，
向前发射一电子，电子相对于核的速度为0.8c. 对于静止的观察者,电子和光子各具有多大的速度？
8-9 两宇宙飞船相对于某遥远的恒星以0.8c的速率朝相反的方向离开。试求两飞船的相对速度。
8-10 在惯性系K中观测两个宇宙飞船，它们正沿直线朝相反的方向运动，轨道平行相距为
d， 如本题图所示。每个飞船的速率皆为c/2. (1) 当两飞船处于最接近位置(见图中虚线)的时刻，飞船a以速率3c/4 (也是从K系
测量的)发射一个小包。问从飞船a上的观察者看来，为了让飞船b接到这个小包，应以什么样的角度瞄准？
(2) 在飞船a上的观察者观测到小包的速率是多少？
(3) 在飞船b上的观察者观测到小包速度沿什么方向？ 速率多少？
8-11 将一个电子从静止加速到0.1c的速度需要作多少功？ 从0.8c加速到0.9c需要作多少功？
已知电子的静止质量为9.11×10-31 kg．
8-12 一粒子的动量是按非相对论计算结果(即m0v)的二倍，该粒子的速率是多少？
8-13 火箭静止质量100吨，速度为第二宇宙速度，即11 km/s. 试计算火箭因运动而增加
的质量。此质量占原有质量多大的比例？
8-14 试计算一瓶开水(约2.5 kg)从100°C冷却至20°C时它所减少的质量。此质量占原
有质量多大的比例？
8-15 一个电子和一个正电子相碰，转化为电磁辐射(这样的过程叫做正负电子湮没)。正、
负电子的质量皆为9.11×10-31 kg，设恰在湮没前两电子是静止的，求电磁辐射的总能
量。
8-16 一核弹含20 kg的钚，爆炸后生成物的静质量比原来小104分之一。 (1) 爆炸中释放了多少能量？
(2) 如果爆炸持续了1μs，平均功率多少？
v'1?V2/csin?'2V?v'cos?'
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8-17 在聚变过程中四个氢核转变成一个氦核，同时以各种辐射形式放出能量。氢核质量为
1.0081原子质量单位，氦核质量为4.0039原子质量单位，试计算四氢核融合为一氦核时所释放的能量.(1原子质量单位=1.66×10-27 kg)
8-18 在实验室系中γ光子以能量E射向静止的靶质子，求此系统质心系的速度。
8-19 π+ 介子衰变为μ+子和中微子ν：π+→μ++ν．
求质心系中μ子和中微子的能量，已知三粒子的静质量分别为mπ 、 mμ 和0.
8-20 一质量为42原子质量单位的静止粒子衰变为两个碎片，其一静质量为20原子质量单
位，速率为c/4， 求另一的动量、 能量和静质量.
8-21 静止的正负电子对湮没时产生两个光子，若其中一个光子再与一个静止电子相碰，求
它能给予这电子的最大速度.
8-22 光生K+ 介子的反应为?γ+ p → K+ +Λ0，
(1) 求上述反应得以发生时在实验室系(质子静止系)中光子的最小能量;
(2) 在飞行中Λ0 衰变为一个质子和一个π- 介子. 如果Λ0具有速率0.8c，则π- 介
子在实验室系中可具有的动量最大值为多少？ 垂直于Λ0方向的实验室动量分量
的最大值为多少？ 已知 mK+ = 494 MeV/c, mΛ = 1116 MeV/c, mπ= 140 MeV/c.
8-23 氢原子光谱中的Hα谱线波长为656.1×10m，这是最显著的一条亮红线.在地球上测
量来自太阳盘面赤道两端发射的Hα谱线波长相差9×10-12 m．假定此效应是由太阳自转引起的，求太阳的自转周期T. 已知太阳的直径是1.4×109 m .
8-24 利用多普勒效应可以精确地测量物体的速度，例如，远在105 km外人造卫星的速度和
位置变化，误差不大于10-1 cm. 如本题图所示，在地面站和卫星上各装一台固有频率为
ν的振荡器。试证明： 在卫星速度v << c的情况下，地面站将收到的卫星频率ν′和本机频率ν形成的差拍为 ?拍??'?????vcos?/c,式中v cosθ为卫星的径向速度(见图).
8-25 发现某星的光谱线波长为6.00×103 ，它比实验室中测得同一光谱线波长增大了0.10?．假定这是由于多普勒效应引起的，此星远离我们而去的退行速度有多大？
-9
2
0
2
-
2
+