(C) 28 (D) 44
24、设X1,X2,Xn(n?1)是来自正态总体N(?,?)的简单随机样本，X是样本均值，
1n1n2222S1?(X?X),S?(X?X),?i?i2n?1i?1ni?11n1n22S?(Xi??),S4??(Xi??)2,?n?1i?1ni?1
则服从自由度为n-1的t分布的随机变量是( ).
X??X??t?t?S1/n?1 (B) S2/n?1 (A)
23X??X??t?S3/n (D) S4/n (C)
5、在假设检验中，H0表示原假设，H1为备择假设，则称为犯第二类错误是
t?( ).
(A) H1不真，接受H1 (B) H1不真，接受H0 (C) H0不真，接受H0 (D) H0不真，接受H1
三、已知在10件产品中有2件次品，在其中任取两次，每次任取一件，作不放
回抽样，求下列事件的概率： (1) 两件都是正品;
(2) 第二次取出的是次品. (本题10分)
四、设事件A在每次试验发生的概率为0.3，A发生不少于3次时，指示灯发出信号，
进行了5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率. (本题10分)
?e?(x?y)e,0?x?1,0?y????f(x,y)??e?1?0其它?五、设随机变量(X,Y)的概率密度为 (1) 求边缘概率密度fX(x),fY(y);
(2) 判断X和Y是否相互独立？ (本题10分)
六、设随机变量X1,X2的概率密度别为
?2e?2x,x?0,?4e?4x,x?0,f1(x)??f2(x)??x?0. x?0. ?0,?0,2E(2X?3X); 12（1）求
（2）又设X1,X2相互独立，求E(X1X2). (本题10分)
七、设X1,X2,Xn(n?1)为总体X的一个样本，x1,x2,,xn为一相应的样本值，
??c?x?(??1),x?cf(x)??0其它, ?总体密度函数为
?>1,求?为未知参数的最大似然估计值和估计量. (本题10其中c>0为已知，
分)
八、用铂球测定引力常数（单位：10-11m3.kg-1.s-2），观察值为
6.661 6.661 6.667 6.667 6.664
222设测定值总体为N(?,?)，?,?未知，试求?的置信水平为0.9的置信区间. (本题10分)
2222?5???s?0.9?10,0.050.050.95(4) = 0.711，（(4) = 9.488, (5) = 11.071,
?20.95(5)=1.145 ）
1(5?1)?2九、如果一个矩形的宽度与长度的比为0.618，这样的矩形称为黄金
2矩形，某工艺厂生产的矩形的宽度与长度的比值总体服从正态分布N(?,?)，
?,?2现随机抽取16个，测得x= 0.6544, s= 0.0925， 其均值为?，方差为?2，
均未知，试检验假设H0：?= 0.618, H1：?≠0.618 （取?= 0.05）.
(本题10分)
（t0.025(19) = 2.0930, t0.025(20) = 2.0860, t0.05(19) = 1.7291, t0.05(20) =1.7247
t0.025(15) = 2.1315, t0.025(16) = 2.1199, t0.05(15) = 1.7531, t0.05(16) =1.7459）
参考答案
x??1?0,?1?,?1?x?0?3F(x)???1,0?x?1?2?1x?1 5、4 ?一、1、0.6 2、1/3 3、0.5 4、
二、1、B 2、A 3、D 4、B 5、C 三、解 设Ai=“第i次取出的是正品.”
Bi=“第i次取出的是次品.” ??2分
8728??10945 ??4分 （1）
(2)P(B2)?P(A1B2?B1B2)?P(A1B2)?P(B1B2)P(A1A2)?P(A1)P(A2|A1)??P(A1)P(B2|A1)?P(B1)P(B2|B1)822191?????109109455 ??4分
四、解 设A发生的次数为X，B为指示灯发出信号，
则X服从b（n，p）， n=5，p=0.3 ??4分
?法一
P(B)?P(X?3)??k?35k5kkC(0.3)5?(0.?7)20.163 ??6分
k?0法二
P(B)?1?P(X?3)?1??C5k(0.3)k(0.7)5?k?0.163 ??6分
五、解 (1) (X, Y) 关于X的边缘密度为
???e?(xfX(x)??????f(x,y)dy????0e?y)dy,0?x?1?e?1?0,其它 ??e??ex,0?x?1=?e?1?0,其它 (X, Y) 关于Y的边缘密度为
1efY(x)???????f(x,y)dx????0e?(x?y)dx,y?0?e?1?0,y?0 ?e?y,y?0=??0,y?0 ?e?(???e?1ex?y),0?x?1,0?y???(2) fX(x)?fY(y)??0其它 显然fX(x)?fY(y)?f(x,y)，故X和Y相互独立. 1六、解
E(X1)?2，E(X12)?4 E(X2E(X21112)?D(X2)?[2)]?(4)2?(4)2?8 (1)E(2X221?3X2)?2E(X1)?3E(X2)?2?12?3?158?8 （2）XE(X1111,X2独立，
1X2)?E(X1)E(X2)?2?4?8
七、解 样本X1,X2,?,Xn的似然函数为
L(?)??n???(??1)nn?n?(??1)i?1?cxi???c?i?1xi n而
lnL(?)?nln??n?lnc?(??1)?lnxii?1 dn令d?lnL(?)?n??nlnc??lnxi?0i?1 ??2分 ??2分 ??2分 ??2分
??1分
??1分
?? 2分 ??2分
?? 3分
??3分??3分 ??2分
??2分
???n解得的最大似然估计值为
?lnx?nlncii?1n ??2分
???最大似然估计量为
n?lnXi?1ni?nlnc ??1分
22
八、解 ?,?均未知，?的置信度为0.9的置信区间为
(n?1)S2(n?1)S2[2,2]??/2(n?1)?1??/2(n?1) ??2分
?2-5
这里n = 5, 2= 0.05, s=0.9×10
22查表得?0.05(4)=9.488, ?0.95(4)=0.711 ??3分
(n?1)s24?0.9?10?5?6??3.794?10,29.488计算得 ??/2(n?1) ??2分
(n?1)s24?0.9?10?5??5.063?10?5,2?1??/2(n?1)0.711 ??2分
即?的置信区间为[3.794×10-6,5.063×10-5]. ??1分
2
九、解 检验假设H0：?= 0.618, H1：?≠ 0.618. ??1分
x?0.618|t|?||?t?/2(n?1)2s/n?未知，检验问题的拒绝域为 ??3分 n = 16, ?= 0.05, ?/2 = 0.025, x= 0.6544, s= 0.0925,
查表得t0.025(15) = 2.1315 ??2分
0.6544?0.618|0.0925/16=1.574 < 2.1315 ??2分 故接受H0
即认为矩形的宽度与长度的比为0.618. ??2分
|t|?|概率统计试卷C
一、填空题（共5 小题，每题 3 分，共计15分） 1、设A、B、C为三个随
11P(A)?P(B)?P(C)?,P(AB)?P(BC)?0,P(AC)?,48P(ABC)? . 2、设随机变量X的概率密度为
机
事
件
， 则
?k(1?x)2,?1?x?1,f(x)??其他.，则k= . ?0,3、设随机变量X,YD(2X?Y)= . 相互独立，X~N(1,4),Y~b(10,0.4),则
24、设X1,X2,,Xn是来自总体N(?,?)的样本，X是样本均值，则X服从的分布为 .
2225、设X1,X2,,Xn是来自总体N(?,?)的样本，S为样本方差，?未知时，则?的一个置信水平为1??的置信区间为 . 二、选择题（共5 小题，每题3 分，共计15分）
1、设A、B是两个相互独立的事件，且P(A)?0,P(B)?0,则 ( )一定成
立.
(A) P(A|B)?1?P(A) (B) P(A|B)?0 (C) P(A)?1?P(B) (D) P(A|B)?P(B)
2、函数y?f(x)是一连续型随机变量X的概率密度，则（ ）一定成立. (A) f(x)的定义域为[0,1] (B) f(x)的值域为[0,1]
(C) f(x)非负 (D) f(x)在(-∞,∞)内连续
3、设X和Y是两个相互独立的随机变量，且都服从泊松分布，又知
E(X)?2,E(Y)?3,则E(X?Y)2?( ). (A) 51 (B) 10 (C) 25 (D) 30
22
4、设总体X~N(?,?)，其中?已知，?未知，X1,X2,X3是来自正态总体X的一个容量为3的样本，则下列选项中不是统计量的是 ( ). (A) X1?X2?X3 (B) max{X1,X2,X3}
2222?(X?X?X123) (D) X1?X3?2? (C)
22
5、设总体X~N(?,?)， X1,X2,,Xn是来自正态总体的样本，则?的无偏估
计量是( ).
1n1n2(Xi?X)(Xi?X)2??(A) ni?1 (B) n?1i?1
1n21n2Xi?X(Xi?X)2?? (C) ni?1 (D) n?1i?1
三、有两种花籽，发芽率分别为0.8, 0.9，从中各取一颗，设各花籽是否发芽相
互独立，求（1）这两颗花籽都能发芽的概率， （2）恰有一颗能发芽的概率. (本题12分)
四、设随机变量X的分布函数为
x?1,?0,?FX(x)??lnx,1?x?e,?1,x?e. ?（1）求P{2?X?2.5},