（2）求密度函数fX(x). (本题12分)
?5.25x2y,x2?y?1,f(x,y)??其它. ?0,五、设随机变量(X,Y)的概率密度为
(1) 求边缘概率密度fX(x),fY(y);
(2) 判断X和Y是否相互独立？ (本题12分)
六、设随机变量(X,Y)的概率密度为
?12y2,0?y?x?1,f(x,y)??其他.?0,
求E(X),E(XY). (本题10分)
x1?xP{X?x}?p(1?p),x?0,1，X1,X2,,Xn是来七、设随机变量X的分布律为
自X
的一个样本，x1,x2,,xn为一相应的样本值， p为未知参数，求p的最大似
然估
计值和估计量. (本题12分)
八、某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%） 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24
设测定值总体服从正态分布，但参数均未知，问在?= 0.01下能否接受假设：这批矿砂的镍含量的均值为3.25. (本题12分)
（s= 0.013, t0.005(4) = 4.6041, t0.005(5) = 4.0322, t0.01(4) = 3.7459, t0.01(5) = 3.3649）
参考答案
一、1、5/8=0.625 2、3/8=0.375 3、18.4 4、
N(?,?2)n
(n?1)S2(n?1)S2(2,2)5、??/2(n?1)?1??/2(n?1)
二、1、A 2、C 3、D 4、C 5、B 三、解 设Ai=“第i种花籽取一颗.”（i=1,2）
(1) P(两颗花籽都能发芽)=P(A1A2)
?P(A1)P(A2)?0.8?0.9?0.72 ??6分
1A2(2) P(恰有一颗能发芽)=P(AA1A2)?P(A1A2)?P(A1A2)
?P(A1)P(A2)?P(A1)P(A2)?0.8?0.1?0.2?0.9?0.26. ??6分
四、解 (1) P(2?X?2.5)?FX(2.5)?FX(2)
5?ln2.?5ln?2ln4 ??6分
?1?,1?x?e,?(x)??xfX(x)?FX?其他. ??6分 ?0,(2)
五、解 (1) (X, Y) 关于X的边缘密度为 fX(x)???????15.25x2ydy,?1?x?1?f(x,y)dy???x2?,其它 ??3分 ?0212?212145.25xy?x(1?x),?1?x?1?2x??28?,其它 ??2分 ?0(X, Y) 关于Y的边缘密度为
fY(y)???????y5.25x2ydx,0?y?1?f(x,y)dx????y?,其它 ??3分 ?0y023??5.25yx??3?,?0???3.5y5/2,0?y?1其它 ??2分
(2) fX(x)?fY(y)?f(x,y)，故X和Y不相互独立. ??2分 六、解
E(X)?? ?? 2分 1x14??dx?12xy2dy??4x4dx?0005， ??3分
??????????xf(x,y)dxdy ??2分 1x11??dx?12xy3dy??3x5dx?0002 ?? 3分
七、解 设x1,x2,,xn是相应于样本X1,X2,?,Xn的的一个样本值，X的分布律为
E(XY)????xyf(x,y)dxdyP{X?x}?px(1?p)1?x,x?0,1
故似然函数为
L(p)??pxi(1?p)1?xi?pi?1(1?p)i?1nnn?xinn??xii?1n ??4分
而
lnL(p)?(?xi)lnp?(n??xi)ln(1?p)i?1i?1xin??xi?di?1lnL(p)?i?1??0dpp1?p令 ??4分
1n???xi?xpni?1解得p的最大似然估计值为
1n???Xi?X.pni?1最大似然估计量为 ??4分
八、解 检验假设H0：?= 3.25, H1：?≠3.25 .
nn?2未知，检验问题的拒绝域为
n = 5, ?= 0.01, ?/2 = 0.005, x= 3.252, s= 0.013,
查表得t0.005(4) = 4.6041 ??4分
3.252?3.25|0.013/5= 0.343 < 4.6041 故接受H0
即认为这批矿砂的镍含量的均值为3.25. ??4分 |t|?||t|?|x?3.25|?t?/2(n?1)s/n ??4分
概率统计试卷D
一、填空题（共5 小题，每题 3 分，共计15分）
1、设事件A,B相互独立，P(A)?0.4,P(AB)?0.7,则P(B)? . 2、设随机变量X的概率密度为
????kcosx,??x?,f(x)??22?其他.，则k= . ?0,3、设随机变量X1,X2,X3相互独立且都服从参数为?的泊松分布，令1Y?(X1?X2?X3)3
则D(Y)= . 224、设X1,X2,,Xn是来自总体N(?,?)的样本，X,S分别是样本均值和样本方
(n?1)S2差，则?服从的分布为 .
225、设X1,X2,,Xn是来自总体N(?,?)的样本，X,S分别是样本均值和样本方差，?
已知时，?的一个置信水平为1-α的置信区间为 . 二、选择题（共5 小题，每题3 分，共计15分）
1、设A、B是两个相互独立的事件，且P(A)?0,P(B)?0,则 ( )一定成
立.
22 (A) P(A|B)?1?P(A) (B) P(A|B)?0 (C) P(A)?1?P(B) (D) P(A|B)?P(B)
2、函数y?f(x)是一连续型随机变量X的概率密度，则（ ）一定成立.
(A) f(x)的定义域为[0,1] (B) f(x)的值域为[0,1] (C) f(x)非负 (D) f(x)在(-∞,∞)内连续
111E(X2?1)?2,D(X?1)?,22则E(X)?（ ）. 3、设E(X)?0,且2(A) 22 (B) 2
(C) 1 (D) 0
2
4、设X1,X2,X3,X4是来自正态总体X的样本，其中?已知，?未知，则下列选项中不是统计量的是 ( ).
14X??Xi4i?1 (A) (B) X1?X4?2?
14142S??(Xi?X)K?2?(Xi?X)23i?1?i?1 (C) (D)
225、设总体X~N(?,?)， X1,X2,,Xn是来自正态总体的样本，则?的无偏估
2计
量是( ).
1n1n2(Xi?X)(Xi?X)2??(A) ni?1 (B) n?1i?1
1n1n22(Xi?X)Xi?X2?? (C) n?1i?1 (D) ni?1
三、有两种花籽，发芽率分别为0.8, 0.9，从中各取一颗，设各花籽是否发芽相
互独立，求（1）这两颗花籽都能发芽的概率，
（2）恰有一颗能发芽的概率. (本题12分)
四、设随机变量X的分布函数为
x?1,?0,?FX(x)??lnx,1?x?e,?1,x?e. ?（1）求P{0?X?3}，
（2）求密度函数fX(x). (本题12分)
?4.8y(2?x),0?x?1,0?y?x,f(x,y)??0,其它.?五、设随机变量(X,Y)的概率密度为
(1) 求边缘概率密度fX(x),fY(y);
(2) 判断X和Y是否相互独立？ (本题12分)
六、设随机变量(X,Y)的概率密度为
?2y,0?x?1,0?y?1,f(x,y)??其他.?0, ，
求E(Y),E(XY). (本题10分)
七、设X1,X2,,Xn是来自总体X的一个样本，x1,x2,,xn为一相应的样本值，
??x??1,0?x?1,f(x,?)???(?0)其它.?0,总体X的密度函数为 ,
求?为未知参数的矩估计值和估计量. (本题12分)
八、某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%） 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24
设测定值总体服从正态分布，但参数均未知，问在?= 0.01下能否接受假设：这批矿砂的镍含量的均值为3.25. (本题12分)
（s= 0.013, t0.005(4) = 4.6041, t0.005(5) = 4.0322, t0.01(4) = 3.7459, t0.01(5) = 3.3649）
参考答案
?1(X?z?/2)?2?(n?1)n一、1、0.5 2、1/2=0.5 3、3 4、 5、
二、1、A 2、C 3、B 4、D 5、C 三、解 设Ai=“第i种花籽取一颗.”（i=1,2）
(1) P(两颗花籽都能发芽)=P(A1A2)
?P(A1)P(A2)?0.8?0.9?0.72 ??6分
1A2(2) P(恰有一颗能发芽)=P(AA1A2)?P(A1A2)?P(A1A2)
?P(A1)P(A2)?P(A1)P(A2)?0.8?0.1?0.2?0.9?0.26. ??6分
四、解 (1) P(0?X?3)?FX(3)?FX(0)?1?0?1 ??6分
?1?,1?x?e,?(x)??xfX(x)?FX?其他. ??6分 ?0,(2)
五、解 (1) (X, Y) 关于X的边缘密度为
fX(x)???????x4.8y(2?x)dy,0?x?1?f(x,y)dy???0?,其它 ??3分 ?02x2??2.4(2?x)y0?2.4x(2?x),0?x?1??,其它 ??2分 ??0(X, Y) 关于Y的边缘密度为
1f??Y(y)???f(x,y)dx????y4.8y(2?x)dx,0?y?1????0,其它 ????4.8y[?1(2?x)2]1?y2y?2.4y(3?4y),0?y?1?2?0,其它 (2) fX(x)?fY(y)?f(x,y)，故X和Y不相互独立. 六、解
E(Y)?????????yf(x,y)dxdy ??1dx?102y2dy??1203y311221200dx??03dx?3x0?3， E(XY)?????????xyf(x,y)dxdy ??10dx?102xy2dy??1203xy31121110dx??03xdx?3x0?3. 七、解 由矩法估计
?1?E(X)?????xf(?x,) d x
??10x?x??1dx????1x??11?0???1 ?1n以A?1代???1A1?1得 n?Xi?Xi?1 得?的矩估计量为
???X1?X, ?的矩估计值为 ???x1?x. 八、解 检验假设H0：?= 3.25, H1：?≠3.25 . ?2未知，检验问题的拒绝域为 |t|?|x?3.25s/n|?t?/2(n?1) n = 5, ?= 0.01, ?/2 = 0.005, x= 3.252, s= 0.013,
查表得t0.005(4) = 4.6041 |t|?|3.252?3.250.013/5|=0.343 < 4.6041 故接受H0
即认为这批矿砂的镍含量的均值为3.25. ??3分 ??2分
??2分 ??2分 ??3分 ??2分 ??3分
4分 ??4分
??4分
??4分
??4分
??4分 ??