fY(x)??y???2y3?y?,0?y?1 f(x,y)dy??2?0,其它?（由对称性可直接得到 ）
? E(X)?110x3x(x?2221)d?x4415?x107?x
20y3117E(Y)??y(y?)dy?y4?y5?
0241020 （由对称性可直接得到 ）
1212311525 E(XY)??dx?xy(x?y)dy??[xy?xy]0dx??xdx?
020600318577Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)????0
182020所以X和Y不是是相关的，因而X和Y不相互独立的。
111
?2y,0?x?1,0?y?1（5）f(x,y)??
0,其它?（ⅰ）求边缘概率密度
21当0?x?1时，fX(x)?2?ydy?y|0?1
01 fX(x)??x???1,0?x?1 f(x,y)dy??0,其它?当0?y?1时，fY(y)?2?10ydx?2xy|10?2y
fY(y)??y??y?2y,0?y?1 f(x,y)dx??ydx??0?0,其它（ⅱ）由边缘概率密度与联合概率密度的关系知 由此可知 f(x,y?)fXx(fY)y，( 故X，Y相互独立，从而X，Y不相关。
解法二｜关于（5）的计算： 已经求得
fX(x)??fY(y)??x???1,0?x?1 f(x,y)dy??0,其它?y?2y,0?y?1 f(x,y)dx??ydx??0?0,其它y??所以 E(X)?1 ???02?12E(Y)??yfY(y)dy?2?y2dx?
??03?xfX(x)dx??xdx?1E(XY)???????1??xyf(x,y)dxdy?2?dx?xy2dy
00111x1311 ?2?xy|0dx?2?dx?
03033112Cov(X,Y)????0
323知X，Y不相关。
又 P{X?a,Y?a}?1?a0dx?2ydy?a3
0aP{X?a}?2?ydy?dx?a
00aP{Y?a}?2?dx?ydy?a2
001aP{X?a,Y?a}?P{X?a}P{Y?a}?a3
所以X，Y相互独立。
（一般可以先证明相互独立，当然也就有了不相关的结论。） 28、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
?122?,x?y?1 f(x,y)???
??0,其它试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的。 证明 fX(x)??????1122???1dy,?1?y?x?1?y f(x,y)dy????0,其它??222?,?1?y?x?1?y ????0,其它? fY(y)??????1122???1dx,?1?x?y?1?x f(x,y)dx????0,其它??222?,?1?x?y?1?x ????0,其它?显然f(x,y)?fX(x)fY(y)，所以X和Y不是相互独立的
但 E(X)??11?1xfX(x)???21?1xdx?0，
E(Y)??yfX(y)??12??1?1ydy?0
E(XY)??dx??111?x2?1?x2xyf(x,y)dy?1??1?1xdx?1?x2?1?x2ydy?0
（奇函数在对称区间的积分为0） 所以 Cov(X,Y)?0，故X和Y是不相关的。
29、设随机变量(X,Y)的分布律为
Y?1X?1011818180181801
181818
试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的。 解 求边缘分布律
X?10138
pi.Y38?1280138
p.j
38?1280XY128
p.j所以
2848323323E(X)??1??0??1??0，E(Y)??1??0??1??0
828828
242E(XY)??1???0??1??0
888可见 Cov(X,Y)?0，故X和Y是不相关的。 但 P{X?1,Y?1}?133，P{X?1}P{Y?1}?? 888又 P{X?1,Y?1}?P{X?1}P{Y?1}可知X和Y不相互独立。 或 边缘分布律和乘积不等于联合分布，故X和Y不相互独立。
30、设A和B是试验E的两个事件，且P(A)?0，P(B)?0，并定义随机变量X，Y
如下：
?1,若A发生,?1,若B发生,X?Y? ??0,若A不发生,0,若B不发生.??证明若?XY?0，则X和Y必定相互独立。 证明 X，Y的分布律为 X 0 1 P(A) P(A) pk
X 0 1 P(B) P(B) pk 由X，Y的定义知，XY取值0与1，且 P{XY?1}?P{X?1,Y?1}?P(AB)
P{XY?0}?P{X?0,Y?0}?1?P{X?1,Y?1}?1?P(AB) 于是得XY的分布律为 0 1 XY
pk 1?P(AB) P(AB)
E(X)?P(A)，E(Y)?P(B)，E(XY)?P(AB)
又由?XY?0知Cov(X,Y)?0，从而 E(XY)?E(X)E(Y)， P(AB)?P(A)P(B) ， 所以 A和B相互独立，进而知A与B，A与B，A与B也是相互独立的。 P{X?1,Y?1?}P(AB?)P(A)P?(B)?P{X 1?PY P{X?1,Y?0?}PA(B?)P(A)P?(B)?P{X 1?}PY{0}P{X?0,Y?0}?P(AB)?P(A)P(B)?P{X?0}P{Y?0} P{X?0,Y?1}?P(AB)?P(A)P(B)?P{X?0}P{Y?1}
所以 X和Y相互独立。
31、设随机变量(X,Y)具有概率密度 f(x,y)???1,|y|?x,0?x?1
0,其它?求E(X)，E(Y)，Cov(X,Y) 解 因为 E(X)???????????xf(x,y)dxdy??xdx?01x0?x1x?xdy??2x2dx?012 3x?xE(Y)???????yf(x,y)dxdy??dx?ydy?0 （奇函数的积分?ydy?0）
xyf(x,y)dxdy??xdx?ydy?0 （奇函数的积分?ydy?0）
0?x?x1xxE(XY)?????????所以 Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0。 32、设随机变量(X,Y)具有概率密度
?1?(x?y),0?x?2,0?y?2 f(x,y)??8
?0,其它?求E(X)，E(Y)，Cov(X,Y)，?XY，D(X?Y)。 解 E(X)?212127xdx(x?y)dy?x(x?1)dx? ?????????000846??21212872E(Y)???yf(x,y)dxdy??dx?(xy?y)dy??(2x?)dx?
????0808036??2121284E(XY)???xyf(x,y)dxdy??dx?(x2y?xy2)dy??(2x2?x)dx?
????08080334771Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?????
36636??xf(x,y)dxdy?因为D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)
2121235322又 E(X)??dx?(x?xy)dy??(x?x)dx?
080403212125E(Y2)??dx?(xy2?y3)dy??(y3?y2)dx?
0804032