D(X)?E(X)?E(X)?57211?()? 36365711D(Y)?E(Y2)?E2(Y)??()2?
363622所以 D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)?111125???。 363636933、设随机变量X?N(?,?2)，Y?N(?,?2)，且X和Y相互独立，
试求Z1??X??Y，Z2??X??Y的相关系数（其中?，?是不为零的常数）。 解 E(Z1)?E(?X??Y)??E(X)??(Y)???????(???)?
E(Z2)?E(?X??Y)??E(X)??(Y)???????(???)?
. D(Z?1)D?(X??Y)?2?E(?X)2?(?Y)2?(?2? ?)D(Z2)?D(?X??Y)??2E(X)??2(Y)?(?2??2)?2 E(X2)?D(X)?E2(X)??2??2 E(Y)?D(Y)?E2(Y)??2??2
E(Z1Z2)?E[(?X??Y)(?X??Y)]?E(?2X2??2Y2)?(?2??2)(?2??2) Cov(Z1,Z2)?E(Z1Z2)?E(Z1)E(Z2)
?(?2??2)(?2??2)?(?2??2)?2?(?2??2)?2
?XY(?2??2)?2(?2??2)Cov(Z1,Z2)。 ?2?2?222(???)?(???)D(Z1)D(Z2)234、（1）设随机变量W?(aX?3Y)，E(X)?E(Y)?0，D(X)?4，
D(Y)?16，?XY??0.5，求常数a，使E(W)最小，并求E(W)的最小值。
2（2）设随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且D(X)??X，D(Y)??Y 2?X证明当a?222?Y时，随机变量W?X?aY与V?X?aY相互独立。
2222 解 （1）E(W)?E[(aX?3Y)]?E(aX?6aXY?9Y) ?aE(X)?6aE(XY)?9E(Y)
222 因为 D(X)?4，D(Y)?16 E(X)?E(Y)?0 ，?XY??0.5
所以 E(X2)?4，E(Y2)?16，E(XY)?Cov(X,Y)?0， 由
?XY?Cov(XY,)EXY()???0. 52?4D(X)D(Y))?? 4得 E(XY 故 E(W)?4a2?24a?144?4(a2?6a?36)?4((a?3)2?27) 所以 当a?3时E(W)最小，其最小值为 minE(W)?4?27?108
（2）我们知道二维随机变量相互独立的充分必要条件是?XY?0
22 已知 X?N(?X,?X) )，Y?N(?Y,?Y而正态分布的线性组合也服从正态分布
,?)V 故 Co(vW{E[?W(EW)?][(V EV ?E{[X?aY?E(X?aY)][(X?aY?E(X?aY)]} ?E{[(X?aY)?(?X?a?Y)][(X?aY)?(?X?a?Y)]} ?E{[(X??X)?a(Y??Y)][(X??X)?a(Y??Y)]} ?E{[(X??X)2?a2(Y??Y)2]}
?E[(X??X)2?a2E(Y??Y)2]
22?E(X2)?2?XE(X)??X?a2[E(Y2)?2?YE(Y)??2]
22 ?E(X2)??X?a2[E(Y2)??2] 22 ?D(X)?aD(Y)??X ?a2?Y2因为当Cov(W,V)?0，即?X?a2222时?XY?0， ?Y2?X所以 a?2时，随机变量W?X?aY与V?X?aY相互独立。
?Y35、设随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且X?N(0,3)，Y?N(0,4)，
相关系数?XY??1，试写出X和Y的联合概率密度。 42122解
因为?1??2?0，??3，??4，?XY??的概率密度式有
1，由二维正态分布 4f(x,y)?12??1?2(x??1)2(x??1)(y??2)(y??2)2?1exp{[?2??]} 22222(1??)????1??1122x21xyy2?exp{[??]}
112(1?)321242?1216161?1?8x2xyy2 ?exp{[??]}
15343412?5436、已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均为7300，均方差是700，利用切
比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在5200～9400之间的概率p。
2解 已知 ??7300，??700，??4900
00X? P{52?94?0P0}?{520?X0?7300??7 3 ?P{?2100?X?7300?2100}
7002 ?P{|X?7300|?2100}?1? 22100723928? ?1?2?21441937、对两个随机变量V和W，若E(V)，E(W)存在，证明 E(VW)?E(V)E(W)
这一不等式称为柯西－许瓦兹（Cachy-Schwarz）不等式.
2证明 （1）若E(V)?0，则P{V?0}?1（在方差的性质4中令E(X)?0即得）
22222由此 P{WV?0}?1，因此E(WV)?0， 所以 E(VW)?E(V)E(W)成立。
同理 E(W)?0时 E(VW)?E(V)E(W)成立。
2222222（2）考虑 E(V2)?0，E(W2)?0 设实变量t函数
?(t)?E[V(?t2W)?]2E(V?)22tE(?VW) 2tE(W)因为对于任意的t E[(V?所以二次三项式?(t)的判别式
2tW)?]，0E(W2)?0，
??4[E(VW)]2?4E(V2)E(W2)?0 即有 E(VW)2?E(V2)E(W2)