09级二期期末A卷试题参考解答
完成以下共14题,除最后两题各8分外其余各题各7分.
dyx?y?e一. 求一阶常微分方程满足初始条件y(0)?0的解. dxdyx解 y?edx
edyx?e?ey?dx ?e?y?ex?C,代入初始条件y(0)?0
x?yC=－2, 于是,所求方程满足初始条件的解为 e?e?2.
2222I?1?x?ydxdy,x?y?x. 二. 计算二重积分其中为圆域 ??D解 I????2?0?2cos?1?rrdrd???2?20?cos?01?r2dr2d?
????20?cos?01?r2d(1?r2)d? ? cos?0????202(1?r2)323?2?2?4d???(1?sin3?)d???. 3039三. 验证数项级数?n?1?n?2?2n?1?n收敛,并求其和.
?解 Sn??k?1n?k?2?2k?1?k????k?1nk2??k1???k?1?n?k1? ?k? ?(n?2?2)?(n?1?1)?n?2?n?1?1?2,
S?limSn?lim[n?2?n?1]?1?2
n??n??im ?ln??1??1n?2?n?1?2?1 2.四. 若函数F(x)??x1sin(xt2)dt,x?0,求F?(x). t22xcxtos()sinx3dt???tcosx(2t1txsinx(?x2)xt??解 F?(x)?1x)d t3sinx1sinx31x22?sin(xt2)???cos(xt)d(xt)?x2xx2x1x1313?sinx?sinx. 2x2x2222I?(x?y)dx?(x?siny)dy,x?y?2x 的上五. 计算曲线积分其中C是圆周?C半部分,方向从点O(0,0)到点A(2,0).
?Q?P??1,??1, 解 P?x?y,Q??(x?siny),于是?y?x22?Q?P?,故积分和路径无关,于是 由于
?y?xI??(x2?y)dx?(x?sin2y)dy, 22 C ??20x3xdx?32208?. 3dy2y2??xy?0. 六.求解一阶常微分方程:
dxx1dy21dz1dy1????x, ??2, 原方程化为 2 解 令z?y?,则
ydxxydxydxy?1dz2?z?x.(*) 这是一个一阶线性方程.对应的齐次线性方程为 即
dxxdz2dz2dx?z?0.??, 分离变量,得 dxxzxdz2dx???z?x,
?2?2?2z?C(x)x. z?Cx.lnz??2lnx?lnC?lnCx, 即下面用常数变易法,令
dzC(x)C?(x)??23?2, 代入原方程,得 则dxxxC(x)C?(x)2C(x)?23?2??2?x,
xxxx4C?(x)x3?x,C?(x)?x,C(x)??C.于是得方程(*)的解为 即2x4?x4?C1?x4z?2??C??, 2x?44x?14x2,其中C为任意常数. 故原方程的解为y??4zx?C?y???y?1?ex,七.求解二阶非齐次方程的初值问题:? ?y(0)?y(0)?1.? 解 原方程可化为两个二阶非齐次方程
y???y?1…① 和y???y?ex…②
2它们对应的齐次方程都是 y???y?0, 特征方程为 ??1?0,通解为
y?C1cosx?C2sinx. 对方程①，设特解为y?C,代入后的C =1；
xy?Ae,代入方程得 对方程②，因1不是特征根，故设特解为
Ae?Ae?e,由此得A?1xxx2.
1x于是得原方程的通解为 y?C1cosx?C2sinx?e?1.
2由定解条件： 1?y(0)?C1?11?1?C1??, 221x?11??1?y(0)??Csinx?Ccosx?e?C?,?C?; 222?1?2?022?故本初值问题的解为 y?八.计算曲面积分I?取外侧.
1(?cosx?sinx?ex)?1. 2x2?y2,0?z?4,??xdydz?ydzdx?zdxdy,其中S为锥面z?S??22?? 解 如图，记A?{(x,y,z)x?y?4,z?4},并设曲面A?S所围区域为Ω，
由高斯定理
??P?Q?R????dV?3V ??xdydz?ydzdx?zdxdy??????x?y?z???A??S?12164?2V??rh???4?4?r?4,h?4.
333因此
A??S???xdydz?ydzdx?zdxdy?64?.
?z 又 ??xdydA?yd?zdx?z??dxdy?4??zdxd?y4?24??dxd6?y4 故.
?A?AI???xdydz?ydzdx?zdxdy?S??A??S??????xdydz?ydzdx?zdxdy?64??64??0.
A?1,求证:⑴函数f(x)在区间[0,+∞)上有连续的导数;⑵广义九.若函数f(x)??nn?02?x积分
???0f(x)dx发散.
11?n,x?[0,??), 解 ⑴ un(x)?n2?x211?(x)??n?(x)?2n,x?[0,??), un,un2(2?x)2??1?1?(x) 而级数?n,?2n均收敛，由M判别法，函数项级数?un(x)和?unn?0n?0n?02n?02?在区间[0,+∞)上一致收敛，于是f(x)?? f?(x)???1在区间[0,+∞)上有连续的导数.且 nn?02?x?1.n2
n?0(2?x)?A?? ⑵
??A0f(x)dx??01dx ?nn?02?x?A?1ndx?ln(2?x)?n2?xn?0?A0???n?0?0
?2n?A??2?A???ln?n??ln?????,(A???).
?2?n?0?2??即广义积分
???0?f(x)dx发散.证毕
(?1)n?12nx的收敛半径,收敛域及和函数. 十.求幂级数?n?12n?1n?1n?1(?1)(?1)n2u,则 u?x,?解 令原级数为. 记 an?2n?1n?12n?1?an?12n?1im?lim? l?ln??an??2n?1n?1故级数收敛半径为1,R??
l1.(?1)n?1由于当x?1时,数项级数?满足莱布尼兹判别法条件,从而收敛,故原
2n?1n?1(?1)n?12nx,则 幂级数的收敛区域为[－1,1]. 下面来求和函数.记f(x)??n?12n?1??1(?1)n?12n?1x?g(x), f(x)??xn?12n?1于是 g?(x)??(?1)n?1?n?1x2n?212???(?x)n?1,2即 1?xn?1?x11f(x)?g(x)?dt?arctanx, 2?0x1?t(?1)n?12nx?xg(x)?xarctanx. f(x)??n?12n?1?十一.把函数f(x)?解 令tx?2展开成(x?2)的幂级数,并求其收敛域. 4?x?x?2,则
nnn???t1tx?2(x?2)???f(x)???1????1??1???1. ?????n2?t1?t22?2n?0?2?n?0?n?0?x?2??1??xx?2?2??x?2?x?2?2???x0?x?4?. 收敛域为?x2????十二.验证瑕积分
?2dxx?1收敛, 并求其值.
0 解 x=1为瑕点,而
?2dxx?10??1dxx?10??2dxx?1
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