??1dxx?1dxx?10??10111?dxy?1?x0?1???y2dy??y2dy?2y2101?x1dxy?x?11?1??y2dy?2y20x?111?2;0.
21??221?2;0
故瑕积分
2?dxx?1收敛,且其值为
10?dxx?10??dxx?10??2dxx?1=4.
1十三.若0???2,讨论瑕积分
?1011sindx的敛散性. ?xx111 解 令y?,则x?,dx??2dy,于是
xyy1??siny?1?11?I(?)???sindx???ysiny???2?dy??dy. 2??0x??1xy?y?1当??2,I(?)?I(2)?当0???2,由于???1sinydy都能够发散.
1y2??关于变量y单调下降且趋于0,而对任意正常数A,
积分一致有界:
?A1sinydy???2 .sinydy收敛.下面讨论绝对收敛性: 2??y由Drichlet判别法,积分I(?)??1??1siny1dy收敛,由比较2??当2???1,即0???1时,2???2??,当而积分?1yyy判别法,广义积分I(?)????1sinydy绝对收敛; 2??ysinysin2y1?cos2y, 当2???1,即1???2时,2???2???2??yyy但由于此时广义积分?1广义积分?1??????1cos2ydy收敛,而广义积分?dy发散,于是 2??2??1yy??siny1?cos2ydy发散,即广义积分I(?)??dy条件收敛. 2??2??1yyf(x)?2; 十四.设f(x)在区间[0,+∞ )上单调递增且f(0)?0,xlim???(1) 求证:级数
?[f(n)?f(n?1)]收敛并求其和;
n?1?(2) 若函数f??(x)?0,x?[0,??),求证:级数
?f?(n)也收敛.
n?1?f(n)?limf(x)?2,故 证 ⑴ 因an?f(n)?f(n?1)?0,且nlim???x???n???limSn?lim?[f(k)?f(k?1)]?lim[f(n)?f(0)]?limf(n)?2.
n???k?1n???n???n因此级数
?[f(n)?f(n?1)]收敛,其和为S =2.
n?1?⑵ 由于f(x)在区间[0,+∞ )上单调递增,故级数
?f?(n)为正项级数.
n?1?因 f??(x)?0,x?[0,??),故f?(x) 在此区间单调递减,而由拉格朗日中值定理,在区间( n－1,n ) 内,必有?n,使得f(n)?f(n?1)?f?(?n)?f?(n), 由于
?[f(n)?f(n?1)]收敛,由正项级数的比较判别法, 级数?f?(n)收敛.
n?1n?1??