淮北煤炭师范学院 论文分类号：O172.2
2008届学士学位论文
求极限的计算方法与技巧
系别、专业 信息学院、数学与应用数学 研 究 方 向 数学分析 学 生 姓 名 郑福梅 学 号 200418440094 指导教师姓名 王信松 指导教师职称 教授
2008年5月3日
求极限的计算方法与技巧
郑福梅
淮北煤炭师范学院信息学院
摘要
极限概念是高等数学中很重要的概念之一，其它所有的重要的数学概念如 导数﹑定积分 都是建立在极限概念的基础上的。因此极限运算是高等数学的基本运算。由于极限概念的高度抽象，致使我们很难用极限定义本身去求极限；又由于极限运算分布于整个高等数学的始终，许多重要的概念是由极限定义的，所以掌握极限的方法非常重要。反过来，我们也可以利用这些概念来求一些极限，所以极限的方法是十分繁多的.针对这种情况，本文通过例题总结﹑归纳了常见的求极限的方法及一些技巧。有关命题与结论在文中有详细地说明。
关键词：极限，计算方法，技巧
Skills and methods of computing limit
Zheng Fumei
School of information, Huaibei Coal Industry Teacher’s College
Abstract
The limiting concept is one of the very important concepts in advanced mathematics. The other important mathematical concepts, such as derivative, definite integral are based on this concept. Therefore limit is the basic operation in advanced mathematics. Because of most abstractness of limit, it is difficult to obtain limit by the concept of limit. Since the concept of limit exists in the whole advanced mathematics, and many important concepts are derived from the definition of limit, it is important to grasp the method of limit. On the other hand, we can also use these concepts to obtain some limits; therefore there are various ways to obtain limits. From above descriptions, Common methods and some skills of obtaining limit are generalized through examples in this thesis. Some relevant propositions and conclusions are also extensively illustrated in this thesis.
Keywords: limit，computing method，skill
目 录
一、引言 ?????????????????????????????1 二﹑相关定义与定理 ????????????????????????1 三、极限的几个重要性质 ???????????????????????3 1、收敛数列的一些性质 ??????????????????????4 2、函数极限的相关性质 ??????????????????????4 四、极限的计算方法与技巧及举例说明 ?????????????????5 1、利用极限定义验证极限?????????????????????5 2、利用等价无穷小求极限?????????????????????6 3、利用两个重要极限求极限????????????????????7 4、利用数列与级数的关系求极限??????????????????8 5、利用定积分概念求极限?????????????????????8 6、利用泰勒展开式求极限?????????????????????9 7、递推关系法??????????????????????????9 8、拆项相消法 ?????????????????????????10 9、利用不等式 ?????????????????????????10 10、洛必达法则?????????????????????????11 11、中值定理法?????????????????????????12 12、单调有界定理????????????????????????13 13、利用极限的四则运算法则求极限????????????????14 14、利用加权平均值定理求极限??????????????????14 15、拟和法???????????????????????????15 16、利用函数导数、连续的定义??????????????????16 17、化积为商法?????????????????????????17 18、构造新数列?????????????????????????17 19、Euler常数法????????????????????????18 五、总结??????????????????????????????18致谢 ???????????????????????????????18参考文献 ?????????????????????????????19
一、引言
在高等数学领域中极限是一个重要概念，求数列与函数的极限是数学分析的基本运算。如函数的连续﹑导数﹑定积分及级数的收敛等都是在极限理论的基础上建立的。求极限的主要方法有：定义法﹑四则运算﹑两边夹法则﹑实数连续性公理﹑数列的求和公式﹑利用两个重要极限等。除这些常规方法外还有很多技巧，这些技巧隐含在函数的相关理论中，对这些技巧进行归纳探讨并就应用范围进行分析。求极限是大学理科学生必须练好的一门的基本功，然而面对错综复杂的极限计算题许多学生感到茫然不知所措，为了帮助学生学好极限，本文对其方法进行了简略地归纳和总结.
二、相关定义与定理
定义1[1] 设?an?为数列,a为定数。若对任意的正数?，总存在正整数N，使得当n?N时有|an?a|??,则称数列 ?an?收敛于a,定数a称为数列?an?的极限,并记作
liman?a,或an?a?n???n??
读作“当n趋于无穷大时,an的极限等于a或an趋于a”.若数列?an?没有极限,则称?an?不收敛,或称?an?为发散数列.
定义2[2] 设f为定义在?a,???上的函数,A为定数.若对任意的??0,存在正 数M??a?,使得当x?M时有
f(x)?A??
则称函数f当x趋于??时以A为极限,记作
x???limf(x)?A,或f(x)?A?x????.
定义3 设函数f在点x0的某空心邻域U0?x0;?'?内有定义,A是一个确定 常数.若???0,???0,总存在x',满足0?x'?xo??,且f(x)?A??0，则称当
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