例 设x?0，求limn(nx?1)(x?1).
n??解法一 令nx?1?1an，则an???，ln(1?nln(1?anln(1?1an1an)?)11)?lnxann，于是有
nn(nx?1)??anlnx1anln(1?)an?lnx.
1解法二 原式?n??limxn?x1n0?(x)?tt?0?lnx.
17﹑化积为商法
n 在计算xn??ak的极限时，若能将各乘积的因子化成商的形式，使得某些
k?1公式交错出现在分子﹑分母上，则直接约去公因式就可得到xn的简单形式，再取极限。
n例 设xn???1?k?2??1?，求limxn. 2?n??k?解 由于1?所以
1k2?k?1k?1?,k?2,3,?kk
nxn?12?k?2n?11??13??24??n?1n?1???1?????????????2?2nk??22??33??nn??
所以limxn?n??.
18﹑构造新数列
构造一个新的便于研究的数列，把它作为桥梁来研究原数列，这是数学上常用的方法之一。
例 设a0?0,an?1?sin?an?1?1?,n?1,2,?证明数列?an?收敛，并求极限。 解 令bn?an?1，则bn?sinbn?1,n?1,2,? 因为?1?sinx?1,b0??1， 所以
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?1?bn?sinbn?1?0,bn?1?sinbn?1?bn,n?1,2,?
即数列?bn?单增有上界，所以数列?bn?收敛，
于是：由于limbn?limsinbn?1?sinlimbn?1?limbn?0且an?bn?1.
n??n??n??n??故数列?an?收敛，且liman?lim?bn?1??1
n??n??
19﹑Euler常数法?9?
就是利用著名欧拉公式1?欧拉常数,lim?n?0
n??12???1n?lnn?c??n?叫做 其中c?0.577215n例 求极限lim?n??k?1n1k?4k?1?2n
解 原式??2k?1??k?1112k?11n??k?11k
k?1 ????3???115???111??111????1??????1??????????2n?1??352n?1??23n?1?11?1? ?21?????1????2n?2n?2n?1?
?2?1?n12?13??? 所以lim?n??k?11k?4k?1?2=2ln2?1.
五﹑总结:
在极限问题中证明极限存在及极限的计算方法是十分重要的.本文归纳了极限计算的一些方法和技巧,同学门在使用时要针对不同的情况采用不同的方法.极限的计算又是解决实际问题必不可少的数学工具,它在物理学,工程学学科上都有广泛的应用.
致 谢 本文承蒙指导老师的指导和许多同学的帮助，谨此致谢！
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