x?x0时,f(x)以A为极限,记为limf(x)?A.
x?x0定义4 设函数f(x)在U?o?a,??内有定义,A是一个确定的常数，若
???0，???0,使当a?x?a??时,都有f(x)?A??,则称函数f(x)在x趋于
为右极限记作limf(x)?A.有时也记
x?a?a?时右极限存在,并以Af(a?0)?lim?f(x).
x?a定理 1〔单调有界定理〕在实系数中，有界的单调数列必有极限. 定理 2〔柯西收敛准则〕数列?an?收敛的充要条件是：对任给的??0，存 在正整数N，使得当n,m?N时有an?am??. 这个定理从理论上完全解决了数列极限的存在性问题。
定理 3〔致密性定理〕有界数列必存在收敛子列。 定理 4〔施笃兹定理〕 设数列?yn?单调递增趋于??，limxnynxn?1?xnyn?1?yn
?A.（可
n??以为无穷），则limn????A .
定理5
?3?〔有界变差数列收敛定理〕若数列?xn?满足条件：
?x2?x??M1n2?,3??
xn?xn?1?xn?1?xn?2??则称?xn?为有界变差数列，且有界变差数列一定收敛。
定理 6〔柯西准则〕设函数f在U0?x0;?'?内有定义.limf?x?存在的充
x?x0要条件是:任给??0,存在正数????'?,使得对任何x',x\?U0?x0;??有
f?x??f?x?'\??.
x?x0?0定理 7 设f为定义在U??x0?上的单调有界函数,则右极限limf?x?存在.
定理 8〔拉格朗日中值定理〕?4?设函数f满足如下条件: （1）f在闭区间?a,b?上连续；
（2）f在开区间〔a,b〕内可导,则在(a,b)内至少存在一点?,使
- 2 -
f(?)?'f?b??f?a?b?a.
定理 9〔积分第一中值定理〕设函数f在闭区间?a,b?上连续,则至少存在
???a,b?,使得
?baf?x?dx?f????b?a?.
定理10〔推广的积分第一中值定理〕若f与g都在?a,b?上连续,且g?x?在
?a,b?上不变号, 则至少存在一点???a,b?,使得
?baf?x?g?x?dx?f????g?x?dx.
ab(当g?x??1时,既为定理9).
定理 11〔欧拉定理〕?5?序列xn?1?因此有公式1?12?13???1n?C?lnn??n12?13???1n?lnn?n?1,2??收敛.
式中C?0.577216?称为欧拉常数,且
当n??时，?n?0
?定理 12〔级数收敛定理〕若级数?un收敛,则limun?0
n?1n??定理13〔归结原则〕设函数f在U0?x0;?'?内有定义. limf?x?存在的充要
x?x0条件是:对任何含于U0?x0;?'?且以x0为极限的数列?xn?,极限limf?xn?都存在且
n??相等.
注1 归结原则也可简叙为: limf(x)?A?对任何xn?x0?n???有
x?x0limf?xn??A.
n??注2 归结原则是联系数列与函数的桥梁.
三、极限的几个重要性质
1﹑收敛数列的一些性质
（1）唯一性 若数列?an?收敛,则它只有一个极限.
- 3 -
（2）有界性 若数列?an?收敛，则?an?为有界数列，即存在正数M，使得对一切正数n有an?M.
（3）保号性 若liman?a?0（或a?0）任何a'??0,a?（或a'??a,0?）
n??存在正数N,使得当n?N时有an?a'（或an?a'）.
（4）保不等式性 设?an?与?bn? 均为收敛数列.若存在正数N0,使得当
n?N0时有an?bn，则liman?limbn
n??n??（5）两边夹 设数列{an},?bn?都以a为极限，且limbn?0，若数列cn满足:
n??存在正数N0,当n?N0时有an?cn?bn,则数列?cn?收敛，且limcn?a.
n??（6）四则运算法则 若?an?与?bn?为收敛数列,则{an?bn},{an?bn},?an.bn? 且有lim?an?bn??liman?limbn,lim(an.bn)?liman.limbn.
n??n??n??n??n??n??特别当bn为常数c时有lim(an?c)?liman?c,limcan?climan
n??n??n??n???an?a若再假设bn?0及limbn?0，则??也是收敛数列,且有limn?liman/limbn.
n??n??bn??n??n?bn?
2﹑函数极限的相关性质
（1）唯一性 若极限limf?x?存在,则此极限是唯一的.
x?x0（2）局部有界性 若极限limf?x?存在,则f在x0的某空心邻域U?x0?内有
0x?x0界 .
（3）局部保号性 若极限limf?x??A?0,则对任意正数r，存在x0的某空
x?x00心邻域U?x0?,使对?x?U0?x0?，恒有f?x??r?0.
（4）不等式?6?性 若limf?x??A ,limg?x??B有?'?0，f?x??g?x?，
x?x0x?x0?x?U0?x0;?'?成立,则A?B,即limf?x??limg?x?.
x?x0x?x0（5）迫敛性 设limf?x??limg?x??A,在空心邻域U?x0?内有
0x?x0x?x0 - 4 -
f?x??h?x??g?x?，则limh?x??A.
x?x0（6）若limf?x??A?limf?x??limf?x?
x?x0x?x0?x?x0?注 极限的性质是在某一邻域内研究的而数列极限的性质是在实数范围内研究的.
四﹑极限的计算方法与技巧及举例说明
在上面我们讲了极限的定义﹑定理及相关性质，我们可以利用一些性质来归纳极限的计算方法及所隐含的技巧。 1、利用极限定义验证极限
前提：知道数列（函数）的极限值； 关键：寻找N(?). 基本方法：
（1）求最小的N：从不等式an（2）适当放大法：不等式an程较繁，为此先将表达式函数
H(n)an?a?a??直接解出n；
?a??较为复杂，无法直接解出，或求解的过
进行化简，并适当放大，使之成为关于n的简单
an?a?H(n)（仍为无穷小量），即. 于是，要使
an?a??，只要
H(n)??，解此不等式便得所求.
（3）分步法：不对n作限制（尤其是函数极限），便无法化简和放大，为此先限定n?N1，然后按（2）求得N2，于是所求的N?max?N1,N2?.
n??例 已知limxn?A（有限，??，或??），用定义证明：
?An??limx1?x2??xnn.
解 当A为有限数时，有
x1?x2??xnn?A?x1?A?x2?A???xn?An.
由limn??xn?A知，???0,?N1?0,?n?N1,xn?A??2，从而当n??N1时，有
x1?x2??xnn?A?x1?A?x2?A???xN1?An(n?N1)?2n.
- 5 -
注意到x1?A???xN1?A为常数，因而?N2n?0，当n??N2时，有
x1?A?x2?A???xN1?A?2.
取N?max?N1,N2?，则当n?N时，有
n?A??x1?x2??xnx1?x2??xnn，
即lim?An??.
?0,?N1?0,?n?N1时，有
xn?2(M?1).
当A???时，则?M于是当n?2N1时，有
x1?x2??xnn??x1?x2??xN1nx1?x2??xN1n?(n?N1)?2(M?1)n
?M?1.注意到x1??xN1为常数，因而?N2
.
取N?max?2N1,N2?x1??xN1n?0，当n?N2时，有
?1，则当n?N时，有
x1?x2???xnn?M，
即limx1?x2??xnn???n??.
同理可证A???情形.
注 （1）当A??时结论不成立。如数列1,?1,2,?2,?n,?n,?. （2）若不限制方法，用Studs定理最简单.
2﹑利用等价无穷小求极限
若f?x?与g?x?都是无穷小量,且g?x??0,limg?x?是等价无穷小量表示为f?4?x?a?x?g?x?f?1时称f?x?与
(x?a)?x??g?x? ,因为当f?x??g?x?时
可写为
limfx?a?x?g?x?f?1?d?x?,d?x?是无穷小量从而f?x??g?x???1?d?x???,这时
?x??limg?x?这些可将复杂函数的极限用简单函数的极限代替简化其
x?a计算.注意,在乘积或相除时可以随意替换,但在和差时,不可以使用.
例 设函数f(x) 在区间[?1,1]上连续，计算极限
- 6 -