“函数、极限、连续 ” 内容提要
（一）函数 1．函数概念
函数是微积分学研究的对象，它具有两个要素（定义域与对应法则），函数与自变量及因变量选用字母无关．另外，两个函数相等指其对应两个要素相同．
2．函数的奇偶性，单调性，周期性和有界性
（1）奇函数与偶函数的定义域均关于坐标原点对称，并且奇函数对应的图形关于坐标原点对称，偶函数对应的图形关于y轴对称．
（2）函数的单调性是在其相关定义区间上讨论， 研究函数的单调性既可以用单调性定义的方法也可以采用将在第三章介绍的方法．
（3）周期函数的定义域是无界集，其周期通常指最小正周期，但并非每个周期函数都有最小正周期．
（4）函数的有界性依赖于所讨论的区间．函数在区间I上有界的充要条件是既有上界又有下界．
3．复合函数
多个函数能否复合成一个函数要满足一定条件，得到的复合函数的定义域可能减小．另外，复杂的函数则可分解为形式较简单的函数．复合函数是微积分学研究的主要对象之一，读者应熟练掌握函数的复合与分解的方法．
4．分段函数
在定义域内的若干部分定义域上分别给出不同表达式的一个函数称之为分段函数．常见分段函数表示法：
（1）分段表示的函数．如
1??xsin,x?0， f(x)??x??0, x?0 x?0?1,?sgnx?? 0, x?0（符号函数）等．
??1, x?0?（2）含有绝对值符号的函数，也是分段函数．如
?x, x?0f(x)?|x|??．
?x,x?0?（3）含参变量的极限式表示的函数．如
x2n?1?1，|x|?0 f(x)?lim2n?1n??x?xn?1?x等，此类函数应当通过求极限把函数写成分段表示式：
?1?x,0?|x|?1??f(x)??0, x??1．
?2, x?1???1, |x|?1（4）其他形式的分段函数，如
f(x)=1?sin4x， 0?x??2；
g(x)=min{2,x2}， ?3?x?2；
h(x)=
[x]，x?0 x等．这些函数实际上也是分段函数，均可改写成分段表示式
??cos2x?sin2x,0?x???8f(x)?(sin2x?cos2x)2???sin2x?cos2x,??x???82?，
??2, x?[?3,?2)?(2,2]， g(x)??2??x, x?[?2,2]?0, 0?x?1?． h(x)??n, n?x?n?1,n?N??x后面将对分段函数的极限、连续性、导数与微分等问题分别进行讨论．
5．反函数
在同一坐标系下，y?f(x)与其反函数y?f?1(x)的图形关于直线
y?x对称；另外， y?f(x)的定义域为y?f?1(x)的值域；y?f(x)的值域
为y?f?1(x)的定义域．利用两者的这一关系，有时可用来求函数的定义域与值域．
6．隐函数
通过方程式F(x,y)?0给出的两个变量x和y之间的函数关系称为隐函数．
从F(x,y)?0中解出
y?f(x)或x?g(y)这一过程称为隐函数的显
化．并非所有的隐函数都可以显化，比如xy?ex?y就不能显化．
7．基本初等函数和初等函数 （1）基本初等函数共有五类：
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数．读者应熟练掌握基本初等函数的定义域、值域以及它们的图形与性质．
（2）初等函数是由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数．
（二）极限 1．极限的定义
（1）limxn?A????0,?N?0，使得当n?N时，有|xn?A|??． n??（2）xlimf(x)?A????0,???0，当0?|x?x0|??时，有|f(x)?A|??． ?x0（3）xlim?x0?f(x)?A????0,???0，当x0?x?x0??时，有|f(x)?A|??．
．
（4）xlim?x0?f(x)?A????0,???0，当x0???x?x0时，有|f(x)?A|??（5）limf(x)?A????0,?X?0，当|x|?X时，有|f(x)?A|??． x??（6）xlimf(x)?A????0,?X?0，当x?X时，有|f(x)?A|??． ???（7）xlimf(x)?A????0,?X?0，当x??X时，有|f(x)?A|??． ???2．数列与函数极限的性质 （1）唯一性；
（2）有界性（或局部有界性）； （3）保号性（或局部保号性）； （4）数列极限与函数极限的关系． 3．函数极限存在的充要条件 （1）xlimf(x)?A?lim?xx?x00?f(x)?lim?f(x)?A．
x?x0（2）limf(x)?A?limf(x)?limf(x)?A． x??x???x???4．两个准则与两个重要极限
（1）夹逼准则：在自变量x的同一变化过程中，g(x)?f(x)?h(x)．若
limg(x)?limh(x)?A，
则limf(x)?A．
使用该准则时，将函数（或数列）放大与缩小成一个新的函数（或数列），而新的函数（或数列）与原来的函数（或数列）只相差一个无穷小量．
（2）单调有界准则：单调有界数列必有极限． 使用该准则时，通常是用如下两个结论之一： a．单调递增且有上界则极限存在； b．单调递减且有下界则极限存在．
有界性的证明通常采用数学归纳法，而证明单调性则用作差或作商的方法．一般地，利用该准则时，先证明有界性，后证明单调性．
（3）两个重要极限：
limsinx?1； x?0x1lim(1?)n?e n??n或
1lim(1?)x?e． x??x另外，有以下常用推广形式：设自变量x在同一变化趋势下，如
果limf(x)?0，且
f(x)?0，则有
limsinf(x)?1， f(x)与
lim[1?f(x)]1f(x)?e．
5．极限四则运算法则
在自变量x的同一变化过程中，如果limf(x)?A，limg(x)?B，则 （1）lim[f(x)?g(x)]?limf(x)?limg(x)=A?B， （2）lim[f(x)?g(x)]?limf(x)?limg(x)=A?B，
f(x)limf(x)A?（3）lim=，其中B?0． g(x)limg(x)B