6．复合函数的极限运算法则 设y?f[g(x)]是由y?f(u)与u?g(x)复合而成，f[g(x)]在点x0的某去心
ｏ邻域内有定义．若xlim当x?U(x0,?0)时，g(x)?u0，limf(u)=A且存在?0?0，?xu?u00有g(x)?u0，则
x?x0limf[g(x)]?limf(u)=A．
u?u0该命题表明：如果f(u)和g(x)满足相应的条件，那么作代换u?g(x)可把求xlimf[g(x)]化为求limf(u)，这里u0?limg(x)． ?xu?ux?x0007．幂指函数的极限
在自变量x的同一变化过程中，对于极限limu(x)v(x)，其中u(x)?0且
u(x)不恒等于1，有以下情形：
（1）当limu(x)?a，limv(x)?b， 且a，b有限时，则有
limu(x)v(x)?ab．
（2）当limu(x)?1，limv(x)??（或??，或??）时，则有
limu(x)v(x)=lim{1?[u(x)?1]}1?v(x)?[u(x)?1]u(x)?1=exp{limv(x)?[u(x)?1]}，
或利用恒等式explnx?x，则有
limu(x)v(x)=limexplnu(x)v(x)=exp[limv(x)?lnu(x)]．
8．无穷小与无穷大
（1）在自变量的某一变化过程中，如果limf(x)?0，则称f(x)为无穷小；如果limf(x)??，则称f(x)为无穷大．
（2）无穷小与无穷大的讨论必须指出自变量的变化过程．理解无穷小与很小的数以及无穷大与很大的数之间的差别．无穷小、无穷大不是数．零是唯一可以作为无穷小的常数．
（3）无穷小与无穷大的关系：在自变量x的同一变化过程中，如
果f(x)为无穷大， 则
1f(x)为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，且f(x)?0，则
1f(x)为无
穷大．
（4）无穷大与无界的关系：无穷大量一定无界．反之，则不一定．
（5）无穷小与函数极限的关系：设在自变量x的同一变化过程中，
limf(x)?A?f(x)?A??，
其中lim??0．
（6）无穷小的比较：设在自变量的同一变化过程中，?和?均为无穷小，则
a．若lim??limo(?)?0，称?是比?高阶的无穷小．记为??o(?)．显然
??0．
??，称?b．若lim??是比?低阶的无穷小．从而?比?高阶．
与?是同阶无穷小．
是?的k阶无穷小．
c．若lim???c，且c?0，则称?d．若lim?k??c，且c?0，k?0，则称?e．若lim???1，称?与?是等价无穷小．记为???．
根据如上定义，显然有如下结论成立： f．若???且???，则有???． g．????????o(?) h．当x?0时，
k?o(x)?o(x)，o(x)?ko(x)?o(x)，??o(x)?o(x)，
其中lim??0，k为常数． x?0（7）无穷小的运算：在同一极限过程下，有如下常用结论 a．有限个无穷小的代数和仍为无穷小． b．有限个无穷小的乘积仍为无穷小． c．有界量与无穷小的乘积仍为无穷小． （8）利用等价无穷小的代换求极限 a．替换定理
?，在自变量x的某一变化过程中，且???1，?1，?1均为无穷小，?，
???1．则
lim???lim1??1．
b．当x?0时，常用等价无穷小：
x?sinx，
x?tanx， x?arctanx，
x?ln(1?x)，
x?arcsxi，n
x?ex?1，
ax?1?xlna， (1?x)??1??x，
x21?cosx?2．
注 上述等价关系中的x可换成任一无穷小量． （三）连续 1．函数的连续性 （1）函数y?定义1 设y?f(x)在某点x0处连续有如下几种形式的等价定义： f(x)在点x0的某一邻域内有定义．如果
?x?0lim?y=lim[f(x0??x)?f(x0)]=0，
?x?0则称函数y?f(x)在点x0处连续．
定义2 设y?f(x)在点x0的某一邻域内有定义．如果
x?x0limf(x)?f(x0)，
则称函数y?f(x)在点x0处连续．
f(x)在某点x0处连续的定义可用“???注1 上述函数y?来表述：
”语言
y?f(x)在点x0处连续????0，???0，当|x?x0|??时，恒有
|f(x)?f(x0)|??．
注2 函数y?a．函数y?0f(x)在点x0处连续须具备三个条件：
f(x)在点x0处要有定义；
b．极限xlimf(x)存在； ?xc．xlimf(x)?f(x0)． ?x0注3 当y?f(x)在点x0处连续时，不能认为y?f(x)在x0的某一邻
域内都连续．例如函数f(x)??点尽管有定义，但不连续．
（2）函数y?a．若xlim?x00??0, x?Q2?x, x?R\\Q，仅在点x?0处连续，而在其它
f(x)在某点x0处的单侧连续
f(x)?f(x0)，称函数y?f(x)在点x0处左连续； f(x)?f(x0)，则称函数y?f(x)在点x0处右连续．
b．若xlim?x?c．单侧连续与函数连续有如下关系：
y?f(x)在点x0处连续?f(x)在点x0处既要左连续又要右连续．即
f(x0?)?f(x0?)?f(x0)．
（3）函数y?如果函数y?f(x)在区间上的连续性 f(x)在开区间(a,b)内的每一点都连续，则称函数
y?f(x)在开区间(a,b)内连续；如果函数y?f(x)在闭区间[a,b]上有定义，
在开区间(a,b)内连续，且在点x?a处右连续，在点x?b处左连续，则称函数y?f(x)在闭区间[a,b]上连续．
2．函数的间断点 （1）定义 若函数y?均可），而
x?x0f(x)在点x0的某去心邻域内有定义（在点x0处有无定义
y?f(x)在点x0处不连续，即
y?f(x)在点x0无定义或者
x0为y?f(x)的间断点． limfx(?)fx()0，则称
（2）间断点的分类
可去间断点（左极限=右极限） 第一类间断点
（在x0处的左、右极限均存在） 跳跃间断点（左极限?右极限）
间断点
第二类间断点：在x0处的左右极限至少有一个不存在（常见的有振荡间断点和无穷间断点）．
3．连续函数的运算
（1）设函数f(x)和g(x)在点x0处连续，则f(x)?g(x)，f(x)?g(x)，f(x)g(x)（当g(x0)?0时）均在点x0处连续．
（2）设函数
f(u)在点u0处连续，函数u?g(x)在点x0处连续，且
u0=?(x0)，则复合函数y=f[?(x)]在点x0处连续．
（3）基本初等函数在其定义域内均连续；初等函数在其定义区间（即定义域内的区间）内是连续的．
4．闭区间上连续函数的性质
（1）最大与最小值定理 若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则函数f(x)在[a,b]上一定能取得最大值与最小值．
推论 若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则函数f(x)在[a,b]上一定有界．
（2）介值定理 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)?A，
f(b)?B，A?B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内
至少存在一点?，使得f(?)?C．
推论1 在闭区间上连续的函数必能取得介于最大值与最小值之间的任何值．
推论2（零点定理） 设函数
f(x)在闭区间[a,b]上连续，且
，使得f(?)?0．
f(a)?f(b)?0，那么在开区间(a,b)上至少存在一点?