10、 看涨期权的牛市差价组合由一份协议价格为X1的欧式看涨期权多头和一份协议
价格为X2的欧式看涨期权空头组成。看跌期权的熊市差价组合由一份协议价格为X2的欧式看跌期权多头和一份协议价格为X1的欧式看跌期权空头组成。其结果为： 期末股价范围 ST?X2 X1 看涨期权的牛市差价组 合 X2-X1 ST－X1 0 看跌期权的熊市差价组 合 0 X2-ST X2-X1 总结果 X2-X1 X2-X1 X2-X1 从上表可以看出，在任何情况下，该箱型组合的结果都是X2-X1。在不存在套利机会的情况下，该组合目前的价值应该等于X2-X1的现值。 六．习题： 1．假设某不付红利股票价格遵循几何布朗运动，其预期年收益率16%，年波动率30%，该股票当天收盘价为50元，求：?第二天收盘时的预期价格，?第二天收盘时股价的标准差，?在量信度为95%情况下，该股票第二天收盘时的价格范围。 22 2.变量X1和X2遵循普通布朗运动，漂移率分别为?1和?2，方差率分别为?1和?2。请问在下列两种情况下，X1+X2分别遵循什么样的过程？ （1）在任何短时间间隔中X1和X2的变动都不相关； （2）在任何短时间间隔中X1和X2变动的相关系数为?。 3．假设某种不支付红利股票的市价为50元，风险利率为10%，该股票的年波动率为30%，求该股票协议价格为50元、期限3个月的欧式看跌期权价格。 4．请证明布莱克－舒尔斯看涨期权和看跌期权定价公式符合看涨期权和看跌期权平价公式。 5．某股票市价为70元，年波动率为32%，该股票预计3个月和6个月后将分别支付1元股息，市场无风险利率为10%。现考虑该股票的美式看涨期权，其协议价格为65元，有效期8个月。请证明在上述两个除息日提前执行该期权都不是最优的，并请计算该期权价格。 6．某股票目前价格为40元，假设该股票1个月后的价格要么为42元、要么38元。连续复利无风险年利率为8%。请问1个月期的协议价格等于39元欧式看涨期权价格等于多少？ 习题答案： 11、 由于 ?S~?(??t,??t) S在本题中，S＝50，?＝0.16,?=0.30,?t=1/365=0.00274.因此， 0.5 ?S/50??(0.16?0.00274,0.3?0.00274) =?(0.0004,0.0157) ?S??(0.022,0.785) 因此，第二天预期股价为50.022元，标准差为0.785元，在95％的置信水平上第2天股价会落在50.022-1.96?0.785至50.022+1.96?0.785,即48.48元至51.56元之间。 12、 （1）假设X1和X2的初始值分别为a1和a2。经过一段时间T后，X1的概率分布为： ?（a1??1T,?1T) X2的概率分布为： ?（a2??2T,?2T) 根据独立的正态分布变量之和的性质，可求X1和X2的概率分布为： 2?（a1??1T?a2??2T,?12T??2T) ??（a1?a2?(?1??2)T,(???)T) 这表明，X1和X2遵循漂移率为?1??2，方差率为?1??2的普通布朗运动。 （2）在这种情况下，X1和X2在短时间间隔Δt之内的变化的概率分布为： 2?[(?1??2)?t,(?12??2?2??1?2)?t] 212222 如果?1、?2、?1、?2和?都是常数，则X1和X2在较长时 间间隔T之内的变化的概率分布为： 2?[(?1??2)T,(?12??2?2??1?2)T] 2 这表明，X1和X2遵循漂移率为?1??2，方差率为?12??2+ 2??1?2的普 通布朗运动。 13、 在本题中，S＝50，X＝50，r=0.1,σ=0.3,T=0.25, 因此， d1?ln(50/50)?(0.1?0.09/2)?0.25?0.24170.3?0.25 d2?d1?0.3?0.25?0.0917 这样，欧式看跌期权价格为， p?50N(?0.0917)e?0.1?0.25?50N(?0.2417)?50?0.4634e14、 ?0.1?0.25 ?50?0.4045?2.37根据布莱克－舒尔斯看跌期权定价公式有： p?S?Xe?rTN(?d2)?SN(?d1)?S 由于N（-d1）=1-N(d1),上式变为： p?S?Xe?rTN(?d2)?SN(d1) 同样，根据布莱克－舒尔斯看涨期权定价公式有： c?Xec?Xe?rT?SN(d1)?Xe?rTN(d2)?Xe?rT由于N（d2)?1?N(?d2),上式变为：?rT ?Xe?rTN(?d2)?SN(d1) 可见，p?S?c?Xe15、 ?rT，看涨期权和看跌期权平价公式成立。 D1=D2=1,t1=0.25,T=0.6667,r=0.1,X=65 X[1?e?r(T?t2)]?65(1?e?0.1?0.1667)?1.07X[1?e 可见， ?r(t2?t1)]?65(1?e?0.1?0.25)?1.60 D2?X[1?e?r(T?t2)]D1?X[1?e?r(t2?t1)] 显然，该美式期权是不应提早执行的。 红利的现值为： e?0.25?0.1?e?0.50?0.1?1.9265 该期权可以用欧式期权定价公式定价： S＝70－1.9265＝68.0735，X＝65，T=0.6667,r=0.1,σ＝0.32 ln(68.0735/65)?(0.1?0.322/2)?0.6667d1? 0.32?0.6667d2?d1?0.32?0.6667?0.3013 N(d1)=0.7131,N(d2)=0.6184 因此，看涨期权价格为： 68.0735?0.7131?65?e?0.1?0.6667?0.6184?10.94 16、 构造一个组合，由一份该看涨期权空头和Δ股股票构成。如果股票价格升到42元， 该组合价值就是42Δ-3。如果股票价格跌到38Δ元，该组合价值就等于38Δ。令： 42Δ-3=38Δ 得：Δ=0.75元。也就是说，如果该组合中股票得股数等于0.75，则无论1个月后股票价格是升到42元还是跌到38元，该组合的价值到时都等于28.5元。因此，该组合的现值应该等于： 28.5e 这意味着： -c+40Δ=28.31 c=40×0.75-28.31=1.69元。 -0.08×0.08333 =28.31元。 七．习题 1. 布莱克－舒尔斯定价模型的主要缺陷有哪些？ 2. 交易成本的存在对期权价格有什么影响？ 3. 怎样理解下面这个观点：组合中一份衍生证券合约的价值往往取决于该组合中其他合约的价值？ 4. 什么是波动率微笑、波动率期限结构和波动率矩阵？它们的作用何在？ 5. 当波动率是随机的且和股票价格正相关时，人们在市场上可能会观察到怎样的隐含波动率？ 6. 假设一个股票价格遵循复合期权模型，隐含波动率会是怎样的形状？ 7. 如果我们对随机波动率的概念进一步深入下去，使得波动率的波动率也是随机的，结果会如何？ 8. 设前一天收盘时S&P500为1040，指数的每天波动率为1％，GARCH(1,1)模型中的参数为??0.06，??0.92，??0.000002。如果当天收盘时S&P500为1060，则新的波动率估计为多少？（设?＝0） 9. 不确定参数模型的定价思想是什么？ 10. 如何理解跳跃扩散模型和崩盘模型？ 11. 期权交易者常常喜欢把深度虚值期权看作基于波动率的期权，为什么？ 答案： 1. （1）交易成本的假设：BS模型假定无交易成本，可以连续进行动态的套期保值，但事实上交易成本总是客观存在的。（2）波动率为常数的假设：实际上波动率本身就是一个随机变量。（3）不确定的参数：BS模型假设波动率、利率、股利等参数都是已知的常数（或是已知的确定函数）。但事实上它们都不是一个常数，最为典型的波动率甚至也不是一个时间和标的资产价格的确定函数，并且完全无法在市场观察到，也无法预测。（4）资产价格的连续变动：在实际中，不连续是常见的，资产价格常常出现跳跃。 2. 交易成本的存在，会影响我们进行套期保值的次数和期权价格：交易成本一方面会使得调整次数受到限制，使基于连续组合调整的BS模型定价成为一种近似；另一方面，交易成本也直接影响到期权价格本身，使得合理的期权价格成为一个区间而不是单个数值。同时，不同的投资者需要承担的交易成本不同，具有规模效应，即使是同一个投资者，处于合约多头和空头时，期权价值也不同。 3. 在放松布莱克－舒尔斯模型假设之后，常常出现非线性的偏微分方程，这意味着同一个组合中的期权头寸可能出现互相对冲和保值，减少了保值调整成本，从而使得整个组合的价值并不等于每个期权价值之和，因此组合中一份衍生证券合约的价值往往取决于该组合中其他合约的价值。 4. 应用期权的市场价格和BS公式推算出来的隐含波动率具有以下两个方面的变动规律：（1）“波动率微笑”：隐含波动率会随着期权执行价格不同而不同；（2）波动率期限结构：隐含波动率会随期权到期时间不同而变化。通过把波动率微笑和波动率期限结构放在一起，可以构造出一个波动率矩阵，它是我们考察和应用波动率变动规律的基本工具之一。波动率微笑和波动率期限结 构的存在，证明了BS公式关于波动率为常数的基本假设是不成立的，至少期权市场不是这样预期的。实际从业人员常常从隐含波动率矩阵中获取市场对资产价格分布的信息和预期，从而为衍生证券尤其是那些交易不活跃的期权定价。 5. 当股票价格与波动率正相关时，隐含分布的左尾较小而右尾较大。当股票价格上升时，波动率上升，较高的股票价格出现的概率变大（比波动率为常数时），当股价下跌，波动率下降，较低的价格出现的概率较小。因此，隐含波动率将是股票价格的增函数。正好呈现与图7.3相反的形状。 6. 复合期权模型下，股票价格分布右尾较对数正态分布小而左尾较大。波动率微笑就会呈现如图7.3的形状。实值看涨期权和虚值看跌期权的隐含波动率较高，而虚值看涨期权和实值看跌期权的隐含波动率较低。 7. 随机波动率的一般模型为： dS??Sdt??Sdz1 d??p?S,?,t?dt?q?S,?,t?dz2 其中，我们可以再进一步为q建模： dq?adt?bdz3， 然后可以再为b建模，一直下去。从理论上说，这样当然会越来越接近现实，精确度更高。随着市场竞争的加剧，只有精确度提高才能获得更高的利润。但是这也同时要求更高的计算能力，即使计算能力许可，还需要考虑成本效益问题。这需要在模型的拓展和现实应用方面作一定的权衡。 8. ?n?1?201040?0.01923， 2?n?0.000002?0.06?0.019232?0.92?0.012?0.0001342，因此?n?0.01158。 9. 不确定性参数模型的定价思想为：我们不再假设已经知道参数的精确价值，而是假设我们知道的这些参数位于某个特定的区间之内（我们选择的区间代表了我们对期权或期权组合的参数值在有效期间上下限范围的预测），之后考虑最悲观的情况下我们的期权至少值多少。这样，只要我们的参数区间不被突破，就可以保证永远不会损失。 10. 跳跃扩散模型除了使用原先的连续布朗运动来反映连续扩散过程之外，还引入了泊松过程来描述资产价格的跳跃，这时过程中包括两个部分，一是确定的部分，二是每隔一段时间常常会发生的非确定的跳跃。为了得到期权价值，Merton提出了一个重要的思想：即如果资产价格变化过程中的跳跃成分与整个市场无关的话，就不应该获得期望收益。尽管跳跃扩散模型更接近现实，但是由于参数预测的困难、方程难以求解和完全保值的不可能性，使得它在现实中应用不太广泛。而崩盘模型的主要思想是：假设最糟糕的情况确实发生，度量标的资产价格变化可能导致的最大损失，之后使用数值方法中的二叉树模型，根据可能获得的最低收益来为期权定价。从而弥补了价格出现极端运动时保值失效的缺陷。这样，除非我们非常不幸，最糟的情况确实发生了，否则我们就可以获得更多的收益。同时崩盘模型没有对崩盘发生的时间