概率论(曹显兵)
第一讲 随机事件与概率
考试要求
1. 了解样本空间的概念, 理解随机事件的概念, 掌握事件的关系与运算.
2. 理解概率、条件概率的概念, 掌握概率的基本性质, 会计算古典型概率和几何型概率, 掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式, 以及贝叶斯公式.
3. 理解事件独立性的概念, 掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概率, 掌握计算有关事件概率的方法. 一、古典概型与几何概型《不是考试重点》
1．试验，样本空间与事件.
2．古典概型：设样本空间?为一个有限集，且每个样本点的出现具有等可能性，则 P(A)?A中有利事件数基本事件总数
3．几何概型：设?为欧氏空间中的一个有界区域, 样本点的出现具有等可能性，则
P(A)?A的度量（长度、面积、体积）Ω的度量（长度、面积、体积）
【例1】 一个盒中有4个黄球, 5个白球, 现按下列三种方式从中任取3个球, 试求取出的球中有2个黄球, 1 个白球的概率. （1） 一次取3个；
（2） 一次取1 个, 取后不放回； （3） 一次取1个, 取后放回.
【例2 】从 （0，1） 中随机地取两个数，试求下列概率： （1） 两数之和小于1.2； （2） 两数之和小于1且其积小于
3. 16一、 事件的关系与概率的性质(复习重点）
1. 事件之间的关系与运算律（与集合对应）, 其中特别重要的关系有： （1） A与B互斥（互不相容） ? （2） A与B 互逆（对立事件） ?
AB??
AB??,A?B??
（3） A与B相互独立? P（AB）=P（A）P（B）.
? P（B|A）=P（B） （P（A）>0）. ?P(B|A)?P(B|A)?1 （0 ?P（B|A） =P（B|A） （ 0 < P（A） < 1 ） 注: 若（0 ? P(A|B)?P(A|B)?1（0 （4） A, B, C两两独立 ? P（AB）=P（A）P（B）; P（BC）=P（B）P（C）; P（AC）=P（A）P（C）. （5） A, B, C相互独立 ? P（AB）=P（A）P（B）; P（BC）=P（B）P（C）; P（AC）=P（A）P（C）; 1 / 16 概率论(曹显兵) P（ABC）=P（A）P（B）P（C）. 2. 重要公式 （1） P(A)（2） ?1?P(A) P(A?B)?P(A)?P(AB) （3） P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB) P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC) （4） 若A1, A2,?,An两两互斥, 则P(?Ai?1ni)??P(Ai). i?1n（5） 若A1,A2, ?, An相互独立, 则 P(?A)?1??P(A)?1??[1?P(A)]. iinnnii?1i?1i?1P(?Ai)??P(Ai). i?1i?1nn（6） 条件概率公式: P(B|A)?P(AB) （P（A）>0） P(A)【例3】 已知（A＋B）（A?B）＋A?B?A?B＝C, 且P（ C ）＝ 1, 试求P（B ）. 319,且已知P(A?B?C)?, 则 162【例4】 设两两相互独立的三事件A, B, C满足条件: ABC＝Φ, P（A）＝P（B）＝P（C）< P（A）＝ . 【例5】 设三个事件A、B、C满足P（AB）＝P（ABC）, 且0 （A）P（A?B|C）＝P（A|C）+ P（B|C）. （B）P（A?B|C）＝P（A?B）. （C）P（A?B|C）＝P（A|C）+ P（B|C）. （D）P（A?B|C）＝P（A?B）. 【例6】 设事件A, B, C满足条件: P（AB）＝P（AC）＝P（BC）?率为 . 【例7】 设事件A, B满足 P（B| A）＝1则 【 】 11, P（ABC）＝, 则事件A, B, C中至多一个发生的概816A）=0. （C） A?B. （D） A?B. （A） A 为必然事件. （B） P（B| 【例8】 设A, B, C为三个相互独立的事件, 且0 B与C . （B） AC与C A?B与C （D） AB与C 1. 4【例9】 设A，B为任意两个事件，试证 P（A）P（B）－P（AB） ≤ P（A－B） P（B－A） ≤ 三、乘法公式，全概率公式，Bayes公式与二项概率公式 1． 乘法公式： P(A1A2)?P(A1)P(A2|A1)?P(A2)P(A1|A2).P(A1A2?An)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)?P(An|A1A2?An?1).2． 全概率公式： 2 / 16 概率论(曹显兵) P(B)??P(B|Ai)P(Ai), AiAj??,i?j, ?Ai??. i?1i?1??3．Bayes公式： P(Aj|B)?P(B|Aj)P(Aj)?P(B|A)P(A)iii?1?, AiAj??,i?j, ?Ai??. i?1?4．二项概率公式: kkPn(k)?CnP(1?P)n?k, k?0,1,2,?,n., 【例10】 10件产品中有4件次品, 6件正品, 现从中任取2件, 若已知其中有一件为次品, 试求另一件也为次品的概率. 【例11】设10件产品中有3件次品, 7件正品, 现每次从中任取一件, 取后不放回. 试求下列事件的概率. （1） 第三次取得次品; （2） 第三次才取得次品; （3） 已知前两次没有取得次品, 第三次取得次品; （4） 不超过三次取到次品; 【例12】 甲, 乙两人对同一目标进行射击,命中率分别为0.6和0.5, 试在下列两种情形下, 分别求事件“已知目标被命中,它是甲射 中”的概率. （1）在甲, 乙两人中随机地挑选一人, 由他射击一次; （ 2）甲, 乙两人独立地各射击一次. 【例13】设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份,7份和5份. 随机地取一个地区的 报名表,从中先后任意抽出两份. (1) (2) 求先抽到的一份是女生表的概率p; 已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率q . 第二讲 随机变量及其分布 考试要求 1. 理解随机变量及其概率分布的概念.理解分布函数（F(x)?概率. 2. 理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布及其应用. 3. 了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布. 4. 理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布N(?,?的指数分布的概率密度为 2P(X?x)） 的概念及性质.会计算与随机变量有关的事件的 )、指数分布及其应用，其中参数为?(??0)??e??x,f(x)???0,5. 会求随机变量函数的分布. 一、分布函数 x?0,x?0. 1．随机变量：定义在样本空间上，取值于实数的函数称为随机变量. 2．分布函数： F(x)?P(X≤ x),??＜x＜?? F（x）为分布函数 ?（1） 0≤F（x） ≤1 3 / 16 概率论(曹显兵) （2） F（x）单调不减 （3） 右连续F（x+0）=F（x） （4） 3．离散型随机变量与连续型随机变量 （1） 离散型随机变量 F(??)?0,F(??)?1 P(X?xi)?pi,i?1,2,?,n,?pi≥ 0,?p?1ii?1? 分布函数为阶梯跳跃函数. （2） 连续型随机变量 F(x)? f(t)dt ???xf（x）为概率密度 ? （1） f（x）≥0, （2） f（x） dx?1 ????? P(a4．几点注意 ?X?b)?P(a?X?b)??f(x) ab【 例1 】 设随机变量X的分布函数为 0,x??1,??57?x?,?1?x?1, F(x)??16?161,x?1.??则P(X2?1)? . 【 例2 】 设随机变量X 的密度函数为 f （x）, 且 f （－x） = f （x）, 记FX(x)和F?X(x)分别是X 和?X的分布函数, 则对任意实数x 有 【 】 （A）F?X(x)?FX(x). （B）F?X(x)（D）F?X(x)?FX(?x). ?2FX(x)?1. （C）F?X(x)?1?FX(x). 【 例3 】 设 随机变量X 服从参数为??0的指数分布, 试求随机变量 Y= min { X, 2 } 的分布函数 【 例4 】设某个系统由 6 个相同的元件经两两串联再并联而成, 且各元件工作状态相互独立 每个元件正常工作时间服从参数为 ??0的指数分布, 试求系统正常工作的时间 T 的概率分布. ?1?|x|,|x|?1,f(x)?? 0,其他.?【 例5】设随机变量X的概率密度为 试求（1） X的分布函数F(x); （2）概率P(?2?1X?). 4二、 常见的一维分布 （1） 0-1分布：P(X?k)?pk(1?p)1?k, k?0,1 . kk?k)?Cnp(1?p)n?k, k?0,1,?,n. （2） 二项分布B(n,p): P(X 4 / 16 概率论(曹显兵) （3） Poisson分布 P(?)：P(X?k)??kk!e??, ?＞0, k?0,1,2,?. ?1?，a＜x＜b,U(a,b): f(x)?（4） 均匀分布 ?b?a?其他.?０，（5） 正态分布N（μ，σ）： 2 f(x)?12π?e?(x??)22?2, ??0, ??????? ??e??x,x＞0,（6） 指数分布E(?): f(x)?? ?＞0. 0, 其他.?（7） 几何分布G(p): P(X?k)?(1?p)k?1p, 0＜p＜1, k?1,2,?. kn?kCMCN?M（8） 超几何分布H（N,M,n）: P(X?k)?, k?0,1,?,min{n,M}. nCN【例6】某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p（0 （B） 6p(1? （D） 6p22p)2. (1?p)2. (1?p)2. 【例7】 设X ～Ｎ （?, σ）, 则 P （ X ?1＋?） 【 】 （A） 随μ的增大而增大 . （B） 随?的增大而减小. （C） 随σ的增大而不变 . （D） 随σ的增大而减小. 【例8】 设X ～Ｎ （?, σ 2）, F(x)为其分布函数，??0，则对于任意实数a，有 【 】 （A） F(?a)?F(a)?1. （B） F(?a)?F(a)?1. （C） F(?a)?F(a)?1. （D） F(??a)?F(??a)?1. 2【例9】 甲袋中有1个黑球，2个白球，乙袋中有3个白球，每次从两袋中各任取一球交换放入另一袋中，试求交换n次后， 黑球仍在甲袋中的概率. 三、 随机变量函数的分布： 1. 离散的情形 2. 连续的情形 3. 一般的情形 【例10】 设随机变量X的概率密度为 ?1?2,?1?x?0,??1 fX(x)??,0?x?2,?4其他.?0,??令Y?X2,F(x,y)为二维随机变量（X, Y ）的分布函数. （Ⅰ） 求Y的概率密度 fY(y); 5 / 16