概率论(曹显兵)
离散型
P?X?xi??pi, E(X)??xpiii
连续型
X~f(x), E(X)?2?????xf(x)dx
方差：D(X)?E(X?E(X))?E(X)?E(X) 标准差：D(X),
2. 期望的性质：
1° E(C)?C,E(E(X))?E(X) 2° E(C1X?C2Y)?C1E(X)?C2E(Y) 3° 若X与Y独立，22??2则E(XY)?E(X)E(Y)
4° ?E(XY)?≤E(X2)E(Y2)
3. 方差的性质：
1° D(C)?0,D(E(X))?0,D(D(X))?0 2°
X与Y相互独立，则D(X?Y)?D(X)?D(Y)
23° D(C1X?C2)?C1D(X) 4° 一般有 D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)
?D(X)?D(Y)?2?D(X)D(Y)
5°D(X)?E(X?C)2, C?E(X)
31, 失败的概率为, 独立重复试验直到成功两次为止. 试求试验次数的数学期望. 44【例1】设试验成功的概率为
【例2】 n 片钥匙中只有一片能打开房门, 现从中任取一片去试开房门, 直到打开为止. 试在下列两种情况下分别求试开次数的数学期望与方差: （1）试开过的钥匙即被除去; （2）试开过的钥匙重新放回.
【例3】 设随机变量X的概率密度为
x?1??cos,0?x??,f(x)??2 对X独立地重复观察4次, 用Y表示观察值大于23?其他.?0,的
次数, 求Y的数学期望.
【例4】 设有20人在某11层楼的底层乘电梯上楼, 电梯在中途只下不上, 每个乘客在哪一层（2-11层）下是等可能的, 且乘客之
间相互独立, 试求电梯须停次数的数学期望. 二、随机变量函数的期望（或方差） 1、一维的情形 Y?g(X)
离散型：P{X2?xi}?pi ， E(Y)??g(x)piii
连续型：
X~f(x) E(Y)??????g(x)f(x)dx
2、二维的情形 Z?g(X,Y)
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概率论(曹显兵)
离散型(X,Y)~P?X?xi,Y?yi??pijf(x,y), E(Z)?E(Z)?,
??g(x,y)pijijij
连续型(X,Y)~??????????g(x,y)f(x,y)dxdy
【例5】 设X与Y独立且均服从N （0，1），求Z＝
X2?Y2 的数学期望与方差.
【例6】设两个随机变量X与Y相互独立且均服从N （0，1）, 试求Z＝｜X－Y｜的数学期望与方差. 2三 、协方差，相关系数与随机变量的矩 1、重要公式与概念：
协方差 Cov(X,Y)?E?(X?E(X)(Y?E(Y))?
相关系数 ?Cov(X,Y)XY?D(X)D(Y)
k阶原点矩 E(Xk)
k阶中心矩 E?(X?E(X))k?
2、性质：
1°
Cov(X,Y)?Cov(Y,X)
2° Cov(aX,bY)?abCov(X,Y) 3° Cov(X1?X2,Y)?Cov(X1,Y)?Cov(X2,Y)
4° |?(X,Y)|?1
5° ?(X,Y)?1?P(Y?aX?b)?1 (a＞0) ?(X,Y)??1?P(Y?aX?b)?1 (a＜0) 3、下面5个条件互为充要条件：
（1）
?(X,Y)?0
（2）Cov(X,Y)?0 （3）E(XY)?E(X)E(Y) （4）D(X?Y)?D(X)?D(Y) （5）D(X?Y)?D(X)?D(Y) 【例7】设
X1,X2,?,Xn(n?2)为独立同分布的随机变量, Yi?Xi?X,i?1,2,?,n. 求:
（I） Yi的方差D(Yi),i?1,2,?,n；
（II） Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn); （III） P{Y1?Yn?0}.
四、极限定理
1. 切比雪夫不等式
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且均服从
N(0,1), 记
X?1n?nXi,
i?1概率论(曹显兵)
D(X)D(X)P|X?E(X)|? ??,或P|X?E(X)|
2. 大数定律 3. Poisson定理 4. 中心极限定理
列维—林德伯格定理: 设随机变量X1，X2，?，Xn，?相互独立同分布, 且E(Xi)对任意正数x，有
??,D(Xi)??2, i?1,2,?,n,?， 则
?n?X?n????x?i?1i??x??? limP???n??n???????棣莫弗—拉普拉斯定理: 设?n1
2
1edt 2?-t22~B(n,p),（即X，X，?，X，?相互独立, 同服从0一1分布） 则有
n
??x??n?np??x??? limP???n???np(1?p)???1?t2edt. 2?2【例8】 银行为支付某日即将到期的债券须准备一笔现金，已知这批债券共发放了500张，每张须付本息1000元，设持券人（1人1券）到期到银行领取本息的概率为0.4.问银行于该日应准备多少现金才能以99.9%的把握满足客户的兑换.
【分析】 若X为该日到银行领取本息的总人数，则所需现金为1000X，设银行该日应准备现金x元.为使银行能以99.9%的把握满足客户的兑换，则 P（1000X≤x）≥0.999.
【详解】 设X为该日到银行领取本息的总人数，则X~B（500，0.4）所需支付现金为1000X，为使银行能以99.9%的把握满足客户的兑换，设银行该日应准备现金x元，则 P（1000 X≤x）≥0.999.由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理知：
P(1000X?x)?P(X?x) 1000x???500?0.4?X?500?0.4??P??1000?
500?0.4?0.6??500?0.4?0.6???X?200x?200000?????
120200030???x?200000??????0.999??(3.1).
?200030?即 x?200000?3.1,得 x≥ 233958.798.
200030第五讲 数理统计
考试要求
因此银行于该日应准备234000元现金才能以99.9%的把握满足客户的兑换.
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概率论(曹显兵)
11. 理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念.其中样本方差定义为S?n?12?i?1n(Xi?X)2.
2. 了解?分布、t分布和F分布的概念及性质，了解分位数的概念并会查表计算. 3. 了解正态总体的常用抽样分布.
4. 理解经验分布函数的概念和性质, 会根据样本值求经验分布函数. 5. 理解参数的点估计、估计量与估计值的概念.
6. 掌握矩估计法（一阶、二阶矩）和最大似然的估计法.
7. 了解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并会验证估计量的无偏性.
8. 理解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间. 29. 理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的 两类错误.
10. 了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验 一、样本与抽样分布
1. 总体、个体与简单随机样本: 2. 常用统计量:
n1° 样本均值 X?1n?Xi
i?12° 样本方差 S2?1n?1?n(Xi?X)2
i?13° 样本标准差: S?1nn?1?(Xi?X)2
i?14° 样本k阶原点矩 A1nkk?n?Xi,k?1,2,?
i?15° 样本k阶中心矩 B1nkk?n?(Xi?X),k?1,2,?
i?1 3．分位数 4. 重要抽样分布
（1）?2分布 （2） t分布 （3） F分布
5. 正态总体的常用抽样分布:
设X1,X2,?,Xn为来自正态总体N(?,?2)的样本,
S2?1nn?1?(Xi?X)2, 则 i?1（1） X~N???2?X????,n?或??/n~N(0,1). n（2）
(n?1)S21?2??2?(Xi?X)2~?2(n?1).
i?1 14 / 16
?1n?nXXi,
i?1概率论(曹显兵)
（3）
1?2?i?1n(Xi??)2~?2(n).
（4） nX??~t(n?1). S与S相互独立, 且 E(X)2 （5）
X??, E(S)??22, D(X)??2n.
12X?【例1】 设总体X~N(?,?),设X1,X2,?,Xn是来自总体X的一个样本, 且
n2E(X1Sn).
?X,ii?1n2Sn??(Xi?1ni?X)2，求
【例2】 设总体
nX~N?(?2, )设,X1,X2,?,Xn是取自总体X的一个样本, 且
1X?n?i?11Xi,S2?(Xi?X)2，则 D(S2)?_________.
n?1i?1?n【例3】设随机变量X~t(n)(n?1),, 则 Y?21~________ X2【例4】 设总体X服从正态分布N(0,2), 而X1,X2,?,X15是来自总体X的简单随机样本, 求随机变量
2X12???X10 Y? 222(X11???X15)的分布. 【例
5】 设总体
nX~N?(?,2n)设,
X1,X2,?,Xn,Xn?1是来自总体X的一个样本, 且
1X?n?i?11Xi,(S)?n*2?(Xi?1i?X)2，试求统计量 Xn?1?XS*n?1的分布. n?1二、参数估计
1. 矩估计 2. 最大似然估计 3. 区间估计
4. 估计量的评选标准 【例6】设总体X~U(?1,?2)，X1,X2,?,Xn为来自总体X的样本，试求?1,?2的矩估计和最大似然估计.
【例7】设总体X的概率密度为
0?x?1,??,? f(x,?)??1??,1?x?2,
?0,其他.?其中?是未知参数(0???1), X1,X2,?,Xn为来自总体X的简单随机样本, 记N为样本值x1,x2,?,xn中小于1的个数, 求：
（1）?的矩估计；（2） ?的最大似然估计.
【例8】设总体X的概率密度为
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?6x?(??x),0?x??, f(x)???3?0,其他.?X1,X2,?,Xn为来自X的简单随机样本，
?； （1） 求?的矩估计量?（2） 判断?的无偏性; （3） 判断?的一致性. 三、假设检验
1. 假设检验的基本思想：对总体分布中的未知参数作出某种假设，根据样本在假设为真的前提下构造一个小概率事件，基于“小概率事件”在一次试验中几乎不可能发生而对假设作出拒绝或接受.
2. 单个正态总体均值和方差的假设检验.
3. 假设检验两类错误：第一类错误：原假设H0为真，但拒绝了H0.
第二类错误；原假设H0为假，但接受到了H0.
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