考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题。 分析： 把AB和CD都整理为直角三角形的斜边，利用坡度和勾股定理易得点B和点D到水面的距离，进而利用俯角的正切值可求得CH长度．CH﹣AE=EH即为AC长度． 解答： 解：过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA于点H，得Rt△ABE和矩形BEHG． ， ∴BE=8，AE=6． ∵DG=1.5，BG=1， ∴DH=DG+GH=1.5+8=9.5， AH=AE+EH=6+1=7． 在Rt△CDH中， ∵∠C=∠FDC=30°，DH=9.5，tan30°=∴CH=9.5． 又∵CH=CA+7， 即9.5=CA+7， ∴CA≈9.45≈9.5（米）． 答：CA的长约是9.5米． ， 24．（10分）（2012?自贡）暑期中，哥哥和弟弟二人分别编织28个中国结，已知弟弟单独编织一周（7天）不能完成，而哥哥单独编织不到一周就已完成．哥哥平均每天比弟弟多编2个． 求：（1）哥哥和弟弟平均每天各编多少个中国结？（答案取整数）
（2）若弟弟先工作2天，哥哥才开始工作，那么哥哥工作几天，两人所编中国结数量相同？ 考点： 一元一次不等式组的应用；一元一次方程的应用。 专题： 应用题。 分析： （1）设弟弟每天编x个中国结，根据弟弟单独工作一周（7天）不能完成，得7x＜28；根据哥哥单独工作不到一周就已完成，得7（x+2）＞28，列不等式组进行求解； （2）设哥哥工作m天，两人所编中国结数量相同，结合（1）中求得的结果，列方程求解．
解答： 解：（1）设弟弟每天编x个中国结，则哥哥每天编（x+2）个中国结． 依题意得：， 解得：2＜x＜4． ∵x取正整数， ∴x=3； （2）设哥哥工作m天，两人所编中国结数量相同， 依题意得：3（m+2）=5m， 解得：m=3． 答：弟弟每天编3个中国结；若弟弟先工作2天，哥哥才开始工作，那么哥哥工作3天，两人所编中国结数量相同．
五、解答题（共2个题，每题12分，共24分） 25．（12分）（2012?自贡）如图AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．
（1）若AB=2，∠P=30°，求AP的长；
（2）若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．
考点： 切线的判定与性质；圆周角定理。 分析： （1）首先根据切线的性质判定∠BAP=90°；然后在直角三角形ABP中利用三角函数的定义求得AP的长度； （2）连接OC，OD、AC构建全等三角形△OAD≌△OCD，然后利用全等三角形的对应角相等推知∠OAD=∠OCD=90°，即OC⊥CD． 解答： （1）解：∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线， ∴AB⊥AP， ∴∠BAP=90°； 又∵AB=2，∠P=30°， ∴AP===2，即AP=2； （2）证明：如图，连接OC，OD、AC． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）， ∴∠ACP=90°； 又∵D为AP的中点，
∴AD=CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）； 在△OAD和△OCD中， ， ∴△OAD≌△OCD（SSS）， ∴∠OAD=∠OCD（全等三角形的对应角相等）； 又∵AP是⊙O的切线，A是切点， ∴AB⊥AP， ∴∠OAD=90°， ∴∠OCD=90°，即直线CD是⊙O的切线． 26．（12分）（2012?自贡）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合． （1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF； （2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．
考点： 菱形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。 分析： （1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4=60°，AC=AB进而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF； （2）根据△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根据S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可解题；当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则△CEF的面积就会最大． 解答： （1）证明：连接AC，如下图所示， ∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°， ∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°， ∴∠1=∠3，
∵∠BAD=120°， ∴∠ABC=60°， ∴△ABC和△ACD为等边三角形， ∴∠4=60°，AC=AB， ∴在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（ASA）． ∴BE=CF； （2）解：四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化． 理由：由（1）得△ABE≌△ACF， 则S△ABE=S△ACF， 故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值， 作AH⊥BC于H点，则BH=2， S四边形AECF=S△ABC=BC?AH=BC?=4， 由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短． 故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小， 又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则此时△CEF的面积就会最大． ∴S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF=4﹣×2×=． 六、解答题（本题满分14分） 27．（14分）（2012?自贡）如图，抛物线l交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，﹣3）．将抛物线l沿y轴翻折得抛物线l1． （1）求l1的解析式；
（2）在l1的对称轴上找出点P，使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大，并说出理由；
（3）平行于x轴的一条直线交抛物线l1于E、F两点，若以EF为直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径．
考点： 二次函数综合题。 分析： （1）首先求出翻折变换后点A、B所对应点的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线l1的解析式； （2）如图2所示，连接B1C并延长，与对称轴x=1交于点P，则点P即为所求．利用轴对称的性质以及三角形三边关系（三角形两边之差小于第三边）可以证明此结论．为求点P的坐标，首先需要求出直线B1C的解析式； （3）如图3所示，所求的圆有两个，注意不要遗漏．解题要点是利用圆的半径表示点F（或点E）的坐标，然后代入抛物线的解析式，解一元二次方程求出此圆的半径． 解答： 解：（1）如图1所示，设经翻折后，点A、B的对应点分别为A1、B1， 依题意，由翻折变换的性质可知A1（3，0），B1（﹣1，0），C点坐标不变， 因此，抛物线l1经过A1（3，0），B1（﹣1，0），C（0，﹣3）三点， 2设抛物线l1的解析式为y=ax+bx+c，则有： ， 解得a=1，b=﹣2，c=﹣3， 故抛物线l1的解析式为：y=x﹣2x﹣3． （2）抛物线l1的对称轴为：x==1， 2如图2所示，连接B1C并延长，与对称轴x=1交于点P，则点P即为所求． 此时，|PA1﹣PC|=|PB1﹣PC|=B1C． 设P′为对称轴x=1上不同于点P的任意一点，则有： |P′A﹣P′C|=|P′B1﹣P′C|＜B1C（三角形两边之差小于第三边）， 故|P′A﹣P′C|＜|PA1﹣PC|，即|PA1﹣PC|最大． 设直线B1C的解析式为y=kx+b，则有： ，解得k=b=﹣3， 故直线B1C的解析式为：y=﹣3x﹣3． 令x=1，得y=﹣6， 故P（1，﹣6）．