2014年深圳市高三年级第一次调研考试
数学（理科） 2014．2
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P(A?B)?P(A)?P(B)； 如果事件A、B相互独立，那么P(AB)?P(A)P(B)；
1若锥体的底面积为S，高为h，则锥体的体积为V?Sh．
3一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题
目要求的． 1.已知集合A?{2,0,1,4}，集合B?{x0?x?4,x?R}，集合C?A?B．则集合C可表示为
A．{2,0,1,4}
B． {1,2,3,4}
C．{1,2,4}
D． {x0?x?4,x?R}
2.复数z满足z(1?i)?1（其中i为虚数单位），则z=
A．
11111111B．?i C．??i D．??i ?i 22 222222?1,x?0?D．y??0,x?0
??1,x?0?3．下列函数中，为奇函数的是
1A．y?2x?x
2
B．y?x,x??0,1?
C．y?x?sinx
4．“??1”是“ 函数f(x)?cos?x在区间?0,π?上单调递减”的
开始 a?2，i?1 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 1?aa?1?a5．执行如图1所示的程序框图，则输出的a的值为
（注：“a?2”，即为“a?2”或为“a:??2”．） 1A．2 B．
31C．? D．?3
216．(x?)4的展开式中常数项为
2x11A． B．?
22 否i?i?1i?2014 是a输出 C．
3 2
3 D．?
2y结束 2C图1 7．如图2，在矩形OABC内：记抛物线y?x2?1与直线y?x?1 围成的区域为M（图中阴影部分）．随机往矩形OABC内投一
点P，则点P落在区域M内的概率是
11A． B．
1812C．
y?x2?1y?x?1B111 D． 63O图2 Ax1x
8.在平面直角坐标系中，定义两点P(x1,y1)与Q(x2,y2)之间的“直角距离”为d(P,Q)?x1?x2?y1?y2．给
出下列命题：
（1）若P(1,2)，Q(sin?,2cos?)(??R)，则d(P,Q)的最大值为3?5； （2）若P,Q是圆x?y?1上的任意两点，则d(P,Q)的最大值为22； (3) 若P(1,3)，点Q为直线y?2x上的动点，则d(P,Q)的最小值为
221． 2其中为真命题的是 A．（1）（2）（3） B．（1）（2） C．（1）(3) D． (2)(3)
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分． （一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．函数f(x)?2x?4的定义域为 ．
10．某几何体的三视图如图3所示，其正视图是边长为2的正方形， 正视图 侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则此几何体的体积 是 ． 11.已知双曲线C:俯视图 图3 侧视图 xyxy??1与椭圆??1有相同的焦点， 22ab942222且双曲线C的渐近线方程为y??2x，则双曲线C的方程为 ．
?x?y,?12. 设实数x,y满足?y?10?2x, 向量a?(2x?y,m)，b?(?1,1)．若a?//?b，则实数m的最大值为 ．
?x?1,?13.在数列?an?中，已知a2?4， a3?15，且数列?an?n?是等比数列，则an? ． （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．
14.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若
??x?t,曲线C1的参数方程为?（t为参数），曲线C2的极坐标方程为?sin???cos???1．则曲线C1与2??y?1?t.曲线C2的交点个数为________个．
15．（几何证明选讲选做题）如图4，已知AB是⊙O的直径，
T B O C 图4
A TA是⊙O的切线，过A作弦AC//BT，若AC?4，AT?23，
则AB? ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）
已知函数f(x)?sin(2x??)(0???π)的图像经过点(（1）求?的值；
（2）在?ABC中，?A、?B、?C所对的边分别为a、b、c，若a2?b2?c2?ab，且f(π,1)． 12Aπ2．求?)?2122sinB．
17.（本小题满分12分）
某网络营销部门为了统计某市网友2013年11月11日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表（如图5（1））：
网购金额 (单位:千元) 频数 频率 频率组距0.70.60.50.40.30.20.1(0,0.5] (0.5,1] (1,1.5] (1.5,2] (2,2.5] (2.5,3] 合计 (1) 3 0.05 p x 9 15 18 0.15 0.25 0.30 q y 60 1.00 图5
金额（千元） 00.511.5(2)
22.53若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过2千元的顾客定 义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为3:2．
（1）试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图（如图5(2)）．
（2）该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购
达人”中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查．设?为选取的3人中“网
购达人”的人数，求?的分布列和数学期望．
18．（本小题满分14分）
如图6所示，平面ABCD?平面BCEF，且四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，BF//CE，BC?CE，DC?CE?4，BC?BF?2．
（1）求证：AF//平面CDE；
（2）求平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的余弦值； （3）求直线EF与平面ADE所成角的余弦值．
19.（本小题满分14分）
已知数列?an?的前n项和为Sn，且满足4(n?1)(Sn?1)?(n?2)an(n?N)．
2?DACEBF图6
（1）求a1，a2的值；（2）求an；（3）设bn?
20.（本小题满分14分）
n?13，数列?bn?的前n项和为Tn，求证：Tn?． an4如图7，直线l:y?x?b(b?0)，抛物线C:y?2px(p?0)，已知点P(2,2)在抛
2物线C上，且抛物线C上的点到直线l的距离的最小值为
32． 4（1）求直线l及抛物线C的方程；（2）过点Q(2,1)的任一直线（不经过点P）与抛物线C交于A、B两点，直线AB与直线l相交于点M，记直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2， k3．问：是否存在实数?，使得k1?k2??k3？若存在，试求出?的值；若不存在，请说明理由．
ylMBQPOxA图7