??????3设直线EF与平面ADE所成角为?，则cos??sin?EF,n1??．
2因此，直线EF与平面ADE所成角的余弦值为3． ?????????14分 2【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角及三角函数及空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力．
）（=1+2）a1，解得a1=8． 19． 解：（1）当n=1时，有4?(1?1)(a1+1当n=2时，有4?(2?1)(a1?a2?1)?(2?2)a2，解得a2=27．?????2分
22(n?2)2an（2）（法一）当n?2时，有4(Sn?1)?, ?????①
n?1(n?1)2an?1． ???????② 4(Sn?1?1)?n(n?2)2an(n?1)2an?1an(n?1)3①—②得：4an?，即：．????5分 =?an?1n3n?1n?anan?1an?2a2==?…?=1．3333(n?1)n(n?1)3
???????????????8分
? an=(n?1)3(n?2)．
anan?1a2(n?1)3n3433?????a1?????3?2?(n?1)3． 另解：an?33an?1an?2a1n(n?1)3 又?当n=1时，有a1=8， ?an=(n?1)．??????????8分
（法二）根据a1=8，a2=27，猜想：an=(n?1)． ????????????3分
用数学归纳法证明如下：
（Ⅰ）当n?1时，有a1?8?(1?1)，猜想成立． （Ⅱ）假设当n?k时，猜想也成立，即：ak=(k?1)．
那么当n?k?1时，有4(k?1?1)(Sk?1?1)?(k?1?2)ak?1，
23333(k?1?2)2ak?1即：4(Sk?1?1)?，?????????①
k?1?1(k?2)2ak又 4(Sk?1)?， ??????????②
k?1
(k?3)2ak?1(k?2)2ak(k?3)2ak?1(k?2)2(k?1)3 ①-②得：4ak?1?， ?=?k?2k?1k?2k?1解，得ak+1?(k?2)?(k?1?1)．?当n?k?1时，猜想也成立．
因此，由数学归纳法证得an=(n?1)成立．???????????????8分 （3）?bn?333n?11111=???， ???????????10分 2an(n?1)n(n?1)nn?1?Tn=b1?b2?b3?…?bn?1?bn = <11111???…?? 223242n2(n?1)211111111111111???…??=?(?)?(?)?…?(?)?(?) 222?32?3(n?1)nn(n?1)42334n?1nnn?1 =1113???．???????????????14分
42n?14【说明】考查了递推数列的通项公式、数列裂项求和公式、放缩法证明不等式等知识，考查了学生的运算能
力，以及化归与转化的思想．
20．解：（1）（法一）?点P(2,2)在抛物线C上， ?p?1． ????????2分
y设与直线l平行且与抛物线C相切的直线l?方程为y?x?m，
l?y?x?m,22由?2 得x?(2m?2)x?m?0， ?y?2x,???(2m?2)2?4m2?4?8m，
OMBQPxA11，则直线l?方程为y?x?．
22?两直线l、l?间的距离即为抛物线C上的点到直线l的最短距离，
?由??0，得m?图7
b??有1232?，解得b?2或b??1（舍去）．
42?直线l的方程为y?x?2，抛物线C的方程为y2?2x． ??????????6分
（法二）?点P(2,2)在抛物线C上， ?p?1，抛物线C的方程为y?2x．??2分
2t2)t?R)为抛物线C上的任意一点，点M到直线l的距离为d?设M(,t（2t2?t?b22，根据图象，有
t21?t?b?0，?d?[(t?1)2?2b?1]， 222?t?R，?d的最小值为2b?1322b?1?，由，解得b?2．
422222因此，直线l的方程为y?x?2，抛物线C的方程为y?2x．???????6分 （2）?直线AB的斜率存在，?设直线AB的方程为y?1?k(x?2)，即y?kx?2k?1，
?y?kx?2k?1,2由?2 得ky?2y?4k?2?0， ?y?2x,设点A、B的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)，则y1?y2?22?4k，y1y2?， kk?k1?y1?2y1?222?2?，k2?， ??????????9分 x1?2y1y1?2y2?2?2222?+82(y1?y2)?8224k?2k.?10分 ?k1?k2?????y1?2y2?2y1y2?2(y1?y2)?42?4k?2?2?43kk由??y?kx?2k?1,2k?14k?1 得xM?，yM?，
y?x?2,k?1k?1?4k?1?22k?1， ?????????????????13分 ??k3?k?12k?13?2k?1?k1?k2?2k3．
因此，存在实数?，使得k1?k2??k3成立，且??2．??????????14分
【说明】本题主要考查抛物线的方程与性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系，切
线方程，点到直线距离，最值问题等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．
9[1?(1?ax2)?x?2ax]9(1?ax2)?21． 解：（1）f?(x)?，??????????2分
(1?ax2)2(1?ax2)2令f?(x)?0，解得x??a（负值舍去）， a由
1a1??2，解得?a?4． 2a4
11时，由x?[,2]，得f?(x)?0，
24181．?????????????3分 ?f(x)在[,2]上的最大值为f(2)?4a?121（ⅱ）当a?4时，由x?[,2]，得f?(x)?0，
21181．??????????????4分 ?f(x)在[,2]上的最大值为f()?2a?42（ⅰ）当0?a?（ⅲ）当
1aa1时，f?(x)?0，在?x?2时，f?(x)?0， ?a?4时，?在?x?2aa4a9a1．?????????????5分 f）=?f(x)在[,2]上的最大值为（a2a2?f?(t)??1,（2）设切点为(t,f(t))，则? ???????????6分
f(t)??t?2a.?9[1?at2]242??1由f?(t)??1，有，化简得at?7at?10?0， 22(1?at)即at2?2或at2?5， ???????????① 由f(t)??t?2a，有
9t?2a?t，?????② 21?at534由①、②解得a?2或a?． ?????????????????9分
4（3）当a?2时，f(x)?9x，由（2）的结论直线y?4?x为曲线y?f(x)的切线，
1?2x2?f(2)?2，?点(2,f(2))在直线y?4?x上，
根据图像分析，曲线y?f(x)在直线y?4?x下方． ??????????10分 下面给出证明：当x?[,2]时，f(x)?4?x．
29x2x3?8x2?10x?4（2x?1）(x?2)?f(x)?(4?x)??4?x??，
1?2x21?2x21?2x2121?当x?[,2]时，f(x)?(4?x)?0，即f(x)?4?x．?????????12分
2?f(x1)?f(x2)???f(x14)?4?14?(x1?x2???x14)，
?x1?x2???x14?14， ?f(x1)?f(x2)???f(x14)?56?14?42．
?要使不等式f(x1)?f(x2)???f(x14)??恒成立，必须??42．?????13分
又?当x1?x2???x14?1时，满足条件x1?x2???x14?14， 且f(x1)?f(x2)???f(x14)?42，
因此，?的最小值为42． ???????????????????14分
【说明】本题主要考查函数的性质、导数运算法则、导数的几何意义及其应用、不等式的求解与证明、恒成立问题，考查学生的分类讨论，计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识．