专题讲座
初中数学“方程与不等式”的教学研究与案例评析
刘秀华（北京教育学院丰台分院 中学高级）
“方程与不等式”是初中数学教学中的重要内容，相等关系和不等关系都是现实生活中的重要的数量关系，具有极其广泛的应用。从数学学科看，方程是代数学的核心内容，正是对于方程的研究推动了整个代数学的发展。
一、“方程与不等式”的主要内容及其地位作用
（一）主要内容
等式的基本性质和不等式的基本性质是解方程（组）和解不等式（组）的依据。每一个知识都是从有关概念学习开始，到方程（组）或不等式（组）的解法及方程（组）或一元一次不等式的应用。 （二）地位作用
方程和不等式的应用十分广泛。一元一次方程是最简单的代数方程，也是学习其他方程和方程组的基础。解二元一次方程组就是通过消元转化为一元一次方程来求解，一元二次方程是通过降次转化为一元一次方程。学习一元一次不等式的概念和解法时，都可与一元一次方程的有关内容相类比，可使一元一次方程、一元一次不等式的教学相辅相成，并使一元一次不等式的教学变得较为容易。 列方程解应用题是初中数学教学中的重要内容，也是学生学习中困难较多的内容。之所以重要，是因为通过列方程解应用题的教学可以培养学生分析问题和解决问题的能力。而由于应用题可以千变万化，往往不能套用一些现成的模式，需要具备较强的审题能力、分析问题的能力、熟练的解方程的能力，以及对求出的根正确判断取舍的能力，所以学生学习这部分内容时有很多困难。 （三）重点、难点 教学重点：
1. 等式的基本性质；不等式的基本性质； 2. 方程（组）的解法和列方程（组）解应用题； 3. 不等式的解法和列一元一次不等式解应用题。 教学难点：
1. 列方程（组）解应用题； 2. 列一元一次不等式解应用题。
熟练的解方程关键是正确了解方程的有关概念，正确运用等式的基本性质。正确列出方程关键在于正确分析应用题中的已知数和未知数以及它们之间的关系，能够找到表示应用题全部含义的相等关系。
二、教学策略
（一）课标要求
1. 模型思想 的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。
2. 应用意识 有两个方面的含义，一方面有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题；另一方面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意识，综合实践活动是培养应用意识很好的载体。 3. 具体要求
（ 1 ）方程与方程组
① 能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型（参见课标例 51 ）。
② 经历估计方程解的过程（参见课标例 52 ）。 ③ 掌握等式的基本性质。
④ 能解一元一次方程、可化为一元一次方程的分式方程。
⑤ 掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组。 ⑥ * ① 能解简单的三元一次方程组。
⑦ 理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。 ⑧ 能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等。 ⑨ * 了解一元二次方程的根与系数的关系。
⑩ 能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。 （ 2 ）不等式与不等式组
①结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质（参见课标例 53 ）。 ②能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集。
③能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题。 修改后的课程标准删除了较为繁难的内容“能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式组，解决简单的问题”。增加了必学内容“能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等”。增加了选学内容“能解简单的三元一次方程组”和“了解一元二次方程的根与系数的关系”。选学内容的增加主要是为学生的个性发展提供机会和可能，为学有余力的学生、有特殊需求的学生提供发展空间。
（二）教学中要突出重点，突破难点
熟练的解方程关键是正确了解方程的有关概念，正确运用等式的基本性质。 1. 深入理解概念 (1) 方程与代数式的区别
含有未知数的等式叫做方程。方程的概念明确指出了方程与代数式的区别。代数式是“用代数运算符号把数字或字母表示的数连结而成的式子”，因而，它归根到底表示一个数，即它的本质是“数”；而方程是用等号连结两个代数式，它的本质是表明一个“关系”。只有当其中字母代表一定数值时，两个代数式的值才相等，由于上述的“一定数值”一般不是立即就能看出来的，所以称为“未知数”。
(2) 二元一次方程的解与一元一次方程的解的共同点和不同点
一元一次方程的解是一个数，而二元一次方程组的解是一组两个数。一个一元一次方程只有一个解，而一个二元一次方程有无数组解。 2. 正确理解等式的两条基本性质
性质：等式两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的等式仍然成立。 性质 2 ：等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不能是 0 ），所得的等式仍然成立。
对这两条性质要认真剖析，分析性质 1 和性质 2 的不同点，使学生真正理解，才能正确运用。
3. 准确熟练地掌握解方程（组）的技能 （ 1 ）一元一次方程是基础
一元一次方程是学习其他方程的基础，必须熟练掌握。
对于①学生最容易出现的错误是什么？教师要做到心中有数，引导学生分析错因，提出避免出错的措施。
对于②如果先去分母，运算量较大，而如果先去括号，就可以避免数字计算的复杂程度。因此首先要引导学生观察方程的特征，学生通过观察，亲自动手实践、体会，并总结何时先去分母，何时先去括号。
（ 2 ）掌握一元二次方程的解法，选择适当方法时的思考程序 对于关于 x 的方程
：
①当 数根）。 ②当
时，只考虑开平方，其中 a 、 c 异号（ a 、 c 同号时无实
时，用因式分解法（提取公因式 x ）。
③当 b 、 c 都不为零时： ⅰ考虑因式分解法；
ⅱ考虑求根公式。
在选择方法之前，要做三件事，有利于减少出错和提高求解速度。 （ⅰ）把 a 、 b 、 c 整理为整数； （ⅱ）约去 a 、 b 、 c 公因式； （ⅲ）使 a 为正数。
（ 3 ）根据未知数的系数特点，选择适当的方法，将二元一次方程组转化为一元一次方程
例 2 ： 解下列方程组。
分析： （ 1 ）和（ 2 ）两种方法都可以，（ 1 ）用加减消元更容易。（ 3 ）应观察系数特点，选取方法。（ 4 ）可用整体思想。
二元一次方程组的教学，要讲清如何通过“代入”或“加减”达到“消元”的目的，使二元转化为一元。教学中要强调认真观察方程组中各未知数系数的特点，选择适当的方法解方程组。要通过对比，使学生体会并总结出如何选择适当的方法解方程组。
（ 4 ）弄清分式方程的解法和分式运算的区别
解分式方程利用的是等式的性质，将分式方程转化为整式方程，而且必须进行检验。而分式运算利用的是分式的基本性质。
学生常常将分式运算与解分式方程混淆，分式运算时，经常出现去分母的错误。教学中，要讲清分式运算和解分式方程的依据和它们的区别，应经常把它们放在一起，反复强化，使学生真正理解并掌握。