§8 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质(一)
学习目标 1.理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω，φ，A对图像的影响.2.掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图像间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤.
知识点一 φ(φ≠0)对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图像的影响 思考1 如何由y＝f(x)的图像变换得到y＝f(x＋a)的图像？ 答案 向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|个单位长度.
π
x＋?的图像？ 思考2 如何由y＝sin x的图像变换得到y＝sin??6?π
答案 向左平移个单位长度.
6
梳理 如图所示，对于函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图像，可以看作是把y＝sin x的图像上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到的.
知识点二 ω(ω＞0)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图像的影响
1
思考1 函数y＝sin x，y＝sin 2x和y＝sin x的周期分别是什么？
2答案 2π，π，4π.
思考2 当三个函数的函数值相同时，它们x的取值有什么关系？
11
答案 当三个函数的函数值相同时，y＝sin 2x中x的取值是y＝sin x中x取值的，y＝sin x22中x的取值是y＝sin x中x取值的2倍.
思考3 函数y＝sin ωx的图像是否可以通过y＝sin x的图像得到？ 答案 可以，只要“伸”或“缩”y＝sin x的图像即可.
梳理 如图所示，函数y＝sin(ωx＋φ)的图像，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图像上所有点的1横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到.
ω
知识点三 A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图像的影响
1
思考 对于同一个x，函数y＝2sin x，y＝sin x和y＝sin x的函数值有何关系？
2
1
答案 对于同一个x，y＝2sin x的函数值是y＝sin x的函数值的2倍，而y＝sin x的函数值
21
是y＝sin x的函数值的. 2
梳理 如图所示，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图像上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0
知识点四 函数y＝sin x的图像与y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图像关系 正弦曲线y＝sin x到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的变换过程： y＝sin x的图像――――――――――→ 平移|φ|个单位长度
所有点的纵坐标变为原来的A倍
向左?φ＞0?或向右?φ＜0?
1
所有点的横坐标变为原来的倍ω
y＝sin(x＋φ)的图像―――――――――――――→y＝sin(ωx＋φ)纵坐标不变
的图像―――――――――――――→y＝Asin(ωx＋φ)的图像. 横坐标不变
ππ
2x＋?的图像.( × ) 1.把函数y＝sin 2x的图像向左平移个单位长度，得到函数y＝sin?4??4ππ
x＋?＝sin?2x＋?的图像. 提示 得到y＝sin 2?2??4??
ππ
－x＋?的图像，可把函数y＝sin(－x)的图像向左平移个单位长度得2.要得到函数y＝sin?3??3到.( × )
?x－π??，故要得到y＝sin?－x＋π?的图像，可把函数y＝sin(－x)的图像向右提示 y＝sin?－3???3???
π
平移个单位长度.
3
3.把函数y＝sin x的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到y＝sin 2x的图像.( × )
1
提示 应得到y＝sin x的图像.
2
ππ
x－?的图像是由函数y＝cos x的图像向右平移个单位长度得到的.( √ ) 4.函数y＝cos??3?3提示 由平移的规律可知其正确.
类型一 平移变换
π
x－?的图像可以看作是由y＝sin x的图像经过怎样的变换而得到的？ 例1 函数y＝sin??6?考点 三角函数图像变换 题点 平移变换
ππ
x－?的图像，可以看作是把曲线y＝sin x上所有的点向右平移个单位长度解 函数y＝sin??6?6而得到的. 引申探究
ππ
x－?改为y＝cos?x－?，其它不变，又该怎样变换？ 1.若将本例中y＝sin??6??6?
πππππ
x－?＝sin?x－＋?＝sin?x＋?，解 y＝cos?可以看作是把y＝sin x上所有的点向左平移个?6??62??3?3单位长度得到.
π
2x－?的图像可由y＝sin 2x的图像经过怎样变换得到？ 2.若将本例改为：函数y＝sin?6??πππ
2x－?＝sin?2?x－??，可由y＝sin 2x的图像向右平移个单位长度得到. 解 y＝sin?6????12??12反思与感悟 对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同则先化为同名函数.再观察x前系数，当x前系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，φ?
且从ωx→ωx＋φ的平移量为??ω?个单位长度.
π
2x－?的图像，只要将y＝sin 2x的图像( ) 跟踪训练1 要得到y＝cos?4??π
A.向左平移个单位长度
8π
C.向左平移个单位长度
4考点 三角函数图像变换
π
B.向右平移个单位长度
8π
D.向右平移个单位长度
4
题点 平移变换 答案 A
πππππ
－2x?＝cos?2x－?＝cos?2?x－??＝cos?2?x－8?－?. 解析 y＝sin 2x＝cos?2???4?2????4??
??ππx－?－?， 若设f(x)＝sin 2x＝cos?2??8?4
??πππ
x＋?＝cos?2x－?，所以向左平移个单位长度. 则f ?4??8??8
类型二 伸缩变换
π1
x＋?的图像上所有的点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)而得到的例2 将函数y＝sin??3?2函数解析式为 . 考点 三角函数图像变换 题点 伸缩变换 π
2x＋? 答案 y＝sin?3??
反思与感悟 横向伸缩变换，只变ω，φ不发生变化.
11
跟踪训练2 (2017·合肥高一检测)把y＝sin x的图像上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐
24标不变)得到的解析式是 . 考点 三角函数图像的伸缩变换 题点 三角函数图像的伸缩变换 答案 y＝sin 2x
类型三 图像变换的综合应用
π
例3 把函数y＝f(x)的图像上的各点向右平移个单位长度，再把横坐标伸长到原来的2倍，
61π?2
再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图像的解析式是y＝2sin??2x＋3?，求f(x)的解析式. 3考点 三角函数图像变换 题点 图像变换的综合应用
1π?纵坐标伸长到原来的2倍?解 y＝2sin?2x＋3?――――――――――→ 1π?横坐标缩短到原来的2倍y＝3sin?―――――――――→ ?2x＋3?―π?向左平移6个单位长度?y＝3sin?x＋3?―――――――――→
π
1
3
πππ
x＋＋?＝3sin?x＋?＝3cos x. y＝3sin??63??2?所以f(x)＝3cos x.
反思与感悟 (1)已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图像的解析式，宜采用逆变换的方法.
(2)已知函数f(x)图像的伸缩变换情况，求变换前后图像的解析式.要明确伸缩的方向及量，然后确定出A或ω即可.
π
x＋?的图像向左平移m(m>0)个单位长度后，跟踪训练3 将函数y＝2sin?所得图像对应的函?3?数为偶函数，则m的最小值为( ) πππ5π
A. B. C. D. 12636考点 三角函数图像变换 题点 图像变换的综合应用 答案 B
π
x＋?的图像向左平移m个单位长度，所得图像对应的函数为y＝解析 因为函数y＝2sin??3?ππππ
x＋＋m?，所以＋m＝kπ＋，k∈Z，即m＝kπ＋，k∈Z. 2sin??3?326π
又m>0，所以m的最小值为，故选B.
6
1.函数y＝cos x图像上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图像的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为( ) 11A.2 B. C.4 D. 24考点 三角函数图像变换 题点 伸缩变换 答案 B
xπ?x
＋的图像，只要将函数y＝sin 的图像( ) 2.要得到y＝sin??23?2π
A.向左平移个单位长度
32π
C.向左平移个单位长度
3
π
B.向右平移个单位长度
32π
D.向右平移个单位长度
3