πππ
图像关于x＝对称，∴2·－2φ＝kπ＋(k∈Z)，
662kππ
∴φ＝－－(k∈Z).又∵φ>0，
2125π
∴当k＝－1时，φ的最小值为. 12三、解答题
1
11.使函数y＝f(x)的图像上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的倍，然后再将
2π
其图像沿x轴向左平移个单位长度得到的曲线与y＝sin 2x的图像相同，求f(x)的表达式.
6考点 三角函数图像变换 题点 图像变换的综合应用 解 方法一 (正向变换)
横坐标缩短到沿x轴向左?2?x＋π??， y＝f(x)――――――→y＝f(2x)―――――――→y＝f 1π??6??
原来的倍2
平移个单位长度
6
π2x＋?， 即y＝f ?3??π
2x＋?＝sin 2x. ∴f ?3??ππ令2x＋＝t，则2x＝t－，
33ππ
t－?，即f(x)＝sin?x－?. ∴f(t)＝sin??3??3?方法二 (逆向变换)
沿x轴向右?x－π? 根据题意，y＝sin 2x―――――――→y＝sin 2π?6?
平移个单位长度6
π横坐标伸长到原来的2倍?x－π?. 2x－?―＝sin?―――――――――→y＝f(x)＝sin3?纵坐标不变??3?1π?12.将函数y＝sin??3x－9?的图像经过怎样的变换能得到函数y＝sin x的图像？ 考点 三角函数图像变换 题点 三角函数图像变换综合
1π?1
x－的图像上所有的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，解 把函数y＝sin?再把所?39?3π
得各点向左平移个单位长度，就得到y＝sin x的图像.
9四、探究与拓展
ππ
ω＞0，－≤φ＜?的图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，13.将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)?22??π?π
纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图像，则f ??6?＝ . 6答案
2
2
ππ
x＋?的图像，再把函数y＝解析 把函数y＝sin x的图像向左平移个单位长度得到y＝sin??6?6π1π
x＋?图像上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f(x)＝sin?x＋?sin??6??26?π?π2的图像，所以f ?＝sin ＝. ?6?42
14.已知函数f(x)＝2sin ωx，其中常数ω>0.
π2π
－，?上是增加的，求ω的取值范围； (1)若y＝f(x)在??43?
π
(2)令ω＝2，将函数y＝f(x)的图像向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函
6数y＝g(x)的图像，区间[a，b](a，b∈R且a ?－4ω≥－2，解 (1)因为ω>0，根据题意有?2ππ ω≤?32，3 0，?. 所以ω的取值范围为??4?(2)f(x)＝2sin 2x， ππ 3 即0<ω≤. 4 ?x＋π??＋1＝2sin?2x＋π?＋1， g(x)＝2sin?23???6??? π1π7 2x＋?＝－，解得x＝kπ－或x＝kπ－π，k∈Z， 由g(x)＝0，得sin?3??2412π2π 即g(x)的零点相离间隔依次为和， 33 2ππ43π 故若y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，则b－a的最小值为14×＋15×＝. 333