小车的车轮质量（Mw） 小车的车轮半径（r） 车轮的转动惯量（Iw） 车身的质量（Mp） 车轮中心到机器人的质心的距离（l） 车身转动惯量（Ip） 电机惯量（Jm） 电机的电阻（Rm） 反电动势常量（ke） 电机转矩常量（km） 该系统的能控性矩阵可表示为：
Tc?B0.03kg 0.04m I??M?r2/2?2.4?10?5kgm2 0.6kg 0.072m Ip?Mpl2/2?1.55?10?3kgm2 1?105kgm2 6.69Ω 0.468V sec/rad 0.317 Nm/A ABA2BA3B
??（4-21）
利用文献[27]中对系统能控性的判定定理，即线性非时变系统为完全能控系统的充分必要条件是能控判别矩阵满秩。即若rank(Tc)=4，则系统能控。
利用MATLAB仿真工具，调用其中函数为Tc=ctrb(A，B)。其代码及结果如下所示。
>> A=[0 1 0 0: 0 -56.5 16 0: 0 0 0 1: 0 -525 239.5 0] >> B=[0: 483.2: 0: 44.9]
>> Ic=ctrb(A,B)% 求系统的能控判别矩阵 Ic =
1.0e+008 *
0 0.0000 -0.0003 0.0154 0.0000 -0.0003 0.0154 -0.9125 0 0.0000 -0.0025 0.1434 0.0000 0.0025 0.1434 -8.7094
>> rank(Tc)% 求矩阵的值，若此数值是4，则该系统完全可控 ans = 4
由上可以看出，其rank(Tc)=4，这说明两轮自平衡小车系统是完全能控的，只有在此基础才可以设计控制器，实现平衡控制。
状态能观性问题是指对于任意给定的输入u(t)在有限观测时间tf>t0，使得根
据[t0，tf]期间的输出y(t)能唯一的确定系统在初始时刻的状态x(t0)，则该状态x(t0)是能观测的。若系统的每一个状态都是能观的，则称此系统是状态完全能观。
该系统状态可观性矩阵为：
To?CCACA2?CA3?T （4-22）
线性非时变系统为完全能观系统的充分必要条件是能观判别矩阵满秩。即若rank(To)=4，则系统能观。
同样利用MATLAB仿真工具，调用其中函数为To=obsv(A，C)；其代码及结果如下所示。
>> A=[0 1 0 0 : 0 -56.5 16 0: 0 0 0 1:0 -525 239.5 0]: >> C=[1 0 0 0 : 0 0 1 0]:
>> To =obsv (A,C)% 求系统能观判别矩阵 To =
1.0e+004 *
0.0001 0 0 0 0
0 0.0001 0
0 0.0001 0 0 0 0 0 0.0001 0 -0.0056 0.0016 0 0 -0.0525 0.0239 0 0 0.3192 -0.0904 0.0016 0 2.9663 -0.8400 0.0239 >> rank (To)% 求矩阵的值，若数值为4，则该系统完全可观 ans = 4
从上中可得出：其rank(To)=4，则该系统能观。在控制系统中，反馈控制信息是由系统的输出或者状态变量组合而成的。但是并非所有系统的状态变量在物理上都能测得，于是能否通过对输出的测量获得全部的状态变量的信息，便是系统的能观测问题。此时系统能观，可以设计控制器对那些不能测量的量进行观测，观测系统变动对它们的影响。
由上述分析可得该系统能控且能观，满足极点配置的条件，因此可以利用状 态反馈或输出反馈来配置该系统的闭环极点。
（６） 极点配置控制器
极点配置的问题，就是通过选择反馈增益矩阵，将闭环系统的极点恰好配置在根平面上期望的位置，以获得所希望的动态性能。极点配置决定了控制系统的动态性能和系统的稳定性。本文通过状态反馈来实现极点配置。
系统采用状态反馈对系统(ABC)任意配置极点的充要条件是系统能控。而第4.5.1节已经证明该系统满足其条件，因此可以利用状态反馈法来任意配置系统的极点。
对于系统(组4-2)引入状态反馈，假定考虑进入受控系统的信号为u=v-kx且D=0的情况，其中v为系统的外部参考输入信号，则可将系统的闭环状态方程写成(组4-3)。
由于稳定是控制系统能够运行的前提，因此选择调节时间和超调量作为考察系统动态性能的指标。为了让系统满足如下的性能要求： 超调量：? x??(A?BK)x?Bv?
y?Cx?
3t??1.5ss ??n ??? 21???%?e?25%调节时间：
取ε=0.6、 ，由 可得该闭环系统的期望主导极点为：s1，2=-3±4i，同时要求另外的两个极点在主导极点左边且远离主导极点，一般取其距离主导极点的4到5倍左右，本设计选取-15和-20。这样高阶系统可近似为二阶系统来处理。
所谓极点配置问题是指通过寻找适当的状态反馈增益矩阵K，使得闭环系统极点(即矩阵A—BK的特征值)位于预先给定位置的状态反馈控制器设计问题。其加入状态反馈后的系统结构图如图4.8所示。
B(4×1) A(4×4) K(1×4) ?dt C(2×4)
图4.8加入状态反馈后的系统结构图
由线性时不变系统的稳定性分析可知，当v=0时，闭环系统方程 的稳定性由其变化系统矩阵(A-BK)的特征值决定，即其矩阵(A-BK)的所有特征值都具有负实部。而由经典控制理论知道，矩阵(A-BK)的特征值也将影响诸如衰减速度、振荡、超调等过渡过程特性。因此需要找到一个合适的矩阵K，使得矩阵(A-BK)的特征值位于复平面预先给定的特定位置，同时具有所期望的动态响应特性。
２、程序流程图
3、程序代码
#include
#include
typedef unsigned char uchar; typedef unsigned short ushort; typedef unsigned int uint;
//**************************************** // 定义51单片机端口
//**************************************** #define DataPort P2 //LCD1602数据端口
sbit P30=P3^0; sbit P31=P3^1; sbit P32=P3^2; sbit P33=P3^3; sbit P34=P3^4; sbit P35=P3^5;
sbit key0=P1^0; sbit key1=P1^1; sbit key2=P1^2; sbit key3=P1^3;
sbit P14=P1^4; sbit P15=P1^5; sbit P16=P1^6; sbit P17=P1^7;
sbit P00=P0^0; sbit P01=P0^1; sbit P02=P0^2; sbit P03=P0^3; sbit P04=P0^4; sbit P05=P0^5; sbit P06=P0^6; sbit P07=P0^7;
sbit SCL=P3^6; //IIC时钟引脚定义