综合除法、余数定理
内容讲解
一般地，多项式f（x）除以一次多项式（x-a）?的商式系数和余数有如下规律：商式的最高次项系数就是f（x）（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以b后再加上f（x）的第二项系数就得商的次商为次项系数，如此类推最后得余数，这种方法叫做综合除法． 余数定理：多项式f（x）除以（x-a）所得的余数等于f（a）．如果f（x）能被（x-a）?整除，也就是（x-a）是f（x）的因式．反之，如果（x-a）是f（x）的因式，那么f（x）?能被（x-a）整除．因此，由余数定理，容易得出：
因式定理：如果f（a）=0，那么（x-a）是f（x）的因式，反之，如果（x-a）是f（x）?的因式，那么f（a）=0． 例题剖析
例1 用综合除法求（3x3+5x2-2）除以（x+3）的商式和余数．
分析：整式的除法我们可以用竖式法和分离系数法，这里我们主要是熟悉综合除法． 解：把除式变成（x-a）形为x-（-3）． 如右式所示：
所以商式＝3x2-4x+12． 余数＝－38．
评注：在用综合除法时，①被除式和除式均按降幂排列，其缺项要用“0?”补项．②除式一定要变成（x-a）的形式．③若f（x）的除式为px-q形（p≠0），?可先变除式为：p（x- ）。再用综合除法求出除以（x- ）的商式Q′（x）和余数k′，则f（?x）?÷（px-q）的商式为Q（x）= Q′（x），余数R=R′．
例2 分解因式x4+2x3-9x2-2x+8．
分析：原式可能有x±1，x±2，x±4，x±8因式，由于f（1）=0，f（-1）=0，?所以由因式定理，原多项式含有（x-1）（x+1）这两个因式，然后用综合除法即可求解．
解：∵f（1）=0，f（-1）=0，∴原式中含有（x-1）和（x+1）这两个因式．?由综合除法得：
原式＝（x-1）（x+1）（x-2）（x+4）
评注：（1）如果多项式f（x）中各项系数的和等于零，那么f（x）有一次因式（x-1）；若奇次项的系数的和等于偶次项系数的和，则f（x）有一次因式（x+1），记住这个结论很有用．
（2）本题用分组分解也较简单，请同学们自己求解．
例3 已知x2+x-6是多项式2x4+x3-ax2+6x+a+b-1的因式，求a，b的值． 分析：此题如果用以前的方法求解，就显得特别的繁琐，?但用因式定理就比较简单．
解：∵x2+x-6=（x+3）（x-2），又x2+x-6是多项式2x4+x3-ax2+bx+a+b-1的因式． ∴x+3，x-2是它的两个因式．由因式定理，得f（-3）=0，f（2）=0，即 ∴a=16，b=3．
评注：因式定理在因式分解及其他地方得到广泛的应用，必须高度重视并熟悉掌握． 例4 2x+1除6x4-5x3-3x2-x+4所得的余数．
分析：我们可以用竖式除法，分离系数法和综合除法求此题的余数，这里我们主要尝试余数定理求解．
解：∵2x+1=2[x-（- ）]
由余数定理，得：r=f（- ）=6×（- ）4-5×（- ）3-3×（- ）2-（- ）+4=4 ． 评注：余数定理可以直接求多项式f（x）除以（x-a）式除以（px-q）的余数． 例5 证明：（1）对任意自然数n，an-bn能被（a-b）整除． （2）当n为偶数时,an-bn能被（a+b）整除；
（3）当n为奇数时，an-bn被（a+b）除的余数为-2b．
分析：如果我们把an-bn看成是字母a或b的多项式f（a）或f（b），问题就转化为f（a）?或f（b）被（a-b）或（b-a）整除的问题，于是可用余数定理求解． 证明：把an-bn看成是字母a的多项式f（a）．
（1）对任意自然数n，当a=b时，f（b）=bn-bn=0，所以f（a）=an-bn能被（a-b）整除．
（2）当n为偶数时，f（-b）=（-b）n-bn=0，所以an-bn能被a-（-b）=a+b整除． （3）当n为奇数时，f（-b）=（-b）n-bn=-2bn，故an-bn被（a+b）除的余数为-2bn． 巩固练习
1．用综合除法求（2x3+x-7）÷（2x+1）的商式、余数． 2．已知x= ，求f（x）=3x3-2x2+5的值． 3．求证2x+3是2x4-5x3-10x2+15x+18的因式． 4．利用因式分定理分解因式x3+y3+z3-3xyz．
5．已知f（x）=ax3+bx2-47x-15可被3x+1和2x-3整除，求a，b． 答案:
1．商式=x2- x+ 余数=- ．
2．用综合除法求f（x）÷（x- ）的余数得f（ ）= ． 3．令f（x）=2x4-5x3-10x2+15x+18．
∵f（- ）=2（- ）4-5（- ）3-10（- ）2+15（- ）+18=0，
∴2x+3是f（x）的因式．
4．令f（x）=x3+y3+z3-3xyz，当x=-（y+z）时，
f（x）=f（-（x+y））=-（y+z）3+y3+z3+3（y+z）yz=-（y+z）3+（y+z）3=0，
由因式定理知原式有因式x+y+z，
又因为原式是关于x，y，z?的三次齐次式，
故令原式=（x+y+z）[a（x2+y2+z2）+b（xy+yz+zx）]，
比较两边x3的系数，得a=1，取x=1，y=1，z=1，得0=3×（3+3b）， ∴b=-1，故原式=（x+y+z）（x2+y2+z2-xy-yz-zx）． 5．由因式定理有f（- ）=0和f（ ）=0，即有
解此方程，得：a=24，b=2．
1.
設
f?x???x?2x?x?4432，g?x??4x?3x?6x?932，則
(1)f?x??g?x?=____________，(2)f?x??g?x?=____________。 解答 (1)?x4?2x3?4x2?6x?13;(2)?x4?6x3?2x2?6x?5 解析 f?x??g?x???x4???2?4?x3??1?3?x2?6x??4?9?
??x4?2x3?4x2?6x?13
f?x??g?x????x?2x?x?4????4x?3x?6x?9?
43232 ??x4???2?4?x3??1?3?x2?6x??4?9? ??x4?6x3?2x2?6x?5
2.
x?6除x5?8x4?11x3?2x2?25x?16所得(1)商式為____________，(2)餘式為
____________。 解答 (1)x4?2x3?x2?4x?1;(2)10
3. ?2x3?3x2?2???x2?2x?3?的積為____________。 解答 2x5?7x4?11x2?4x?6 解析
2?3?0?2?)1?2?32?3?0?24?6?0?4?6?9?0?62?7?0?11?4?6
∴ 所求積為2x5?7x4?11x2?4x?6
4.
2x?1除6x?x?3x?232，得(1)商____________，(2)餘式____________。
解答 (1)3x2?x?2;(2)4
5. 把(x+5)(x–7)展開成x的三項式為x2+ax+b，則(1)a=____________，(2)b=____________。 解答 (1)–2;(2)–35
6. 若f(x)=4x2+5x+1，g(x)=3x3+2x2–x+2，則f(3)+g(–2)的值為____________。 解答 40
7. 若f(x)=(a–b+c)x2+(2a–c)x+c–8為一零多項式，則abc=____________。 解答 384
?a?b?c?0? 解析 ?2a?c?0 ?
?c?8?0??a?4??b?12 ? abc=384 ?c?8? 8. 設x2–x+1除3x3–4x2+ax–b之餘式為–2x+3，則a+b=____________。 解答 0 解析 3?11?1?13?4?a?b3?3?3?1?(a?3)?b?1?1?1(a?4)?(1?b)
∵ 餘式為–2x+3 ∴ a–4= –2，1–b=3 ? a=2，b= –2 ? a+b=0
9. 設x3–3x+5=a(x–2)3+b(x–2)2+c(x–2)+d，求a+b+c=____________。 解答 16
解析 1?0?3?522?4?21?2?17?2?81?49?216
即x3–3x+5=1×(x–2)3+6(x–2)2+9(x–2)+7 ∴ a=1，b=6，c=9 ? a+b+c=16
10. 多項式f(x)滿足f(x3) –3f(x2)+6f(x)=8，則多項式之常數項為____________。 解答 2
11. 若x=2+3，則x4–10x2+2=____________。 解答 1 解析 x=
2+
3 ?x2?5?26?x2?5?26?x4–10x2+25=24?
x4–10x2+1=0
∴ x4–10x2+2= x4–10x2+1+1=0+1=1
12. 設f(x)=x5–6x4–4x3–25x2+30x–6，則f(7)=____________。 解答 8
13. 設(x4–x3+x–1)(83x10–52x8+63x4–2)之積中，各項係數和為____________。 解答 0
解析 x=1代入(x4–x3+x–1)(83x10–52x8+63x4–2)=0
∴ 係數和為0
14. 設a、b??，若f(x)=a(x3–x2)+b(x3–x+2)+x2+ax+2為一次多項式，求
a–b=____________。 解答 2
解析 f(x)=a(x3–x2)+b(x3–x+2)+x2+ax+2 =(a+b)x3+(1–a)x2+(a–b)x+2b+2為一次多項
式 故??a?b?0?1?a?0 且 a≠b ? ??a?1?b??1