則a–b=1–(–1)=2
15. 設f(x)=6x2–7x4–9x6+5x+3x3–1，試問此多項式之領導係數為____________。 解答 –9
16. 設(x2+2x–1)2=ax4+bx3+cx2+dx+e，其中a、b、c、d、e為常數，求
a+b+c+d+e=____________。 解答 4
17. 設f(x)=x4+2x3–3x2+4x–5，則f(
12?1)=____________。
解答 202+21 解析 f(12?12
)
= f(2?1)? x=2+1 ? x–1=2 ? x2–2x+1=2
? x–2x–1=0
f(x)= (x2–2x–1) (x2+4x+6)+20x+1
∴ f(2?1)=0+20(2?1)+1=202+21
18. 設f?x??2x3?x?5，g?x??x4?3x3?2x2?7，則f?x??g?x?=____________。 解答 x4?x3?2x2?x?2
19. ?2x3?3x2?4x?5??3x4?4x2?5x?2?乘開後，各項係數和為____________。 解答 8 解析 x?1代入，?2?3?4?5??3?4?5?2??8
320. 設x6?3x5?6x4?7x3?6x2?3x?1??ax2?bx?c?，則a?b?c?____________。 解答 3 解析
x?1代入得27??a?b?c?3 ∴ a?b?c?3
綜合除法：
22
範例：(1)以(x+1)除x10+5之餘式為？ (2) 以(x+1)除x2008+1之餘式為？
解 ：
1 1 1
0 -1 -1 -1 -2 0 1 1 2 3 0 -1 -1 -3 -4 0 1 1 4 5 0 -1 -1 -5 -6 0 1 1 6 7 0 -1 -1 -7 -8 0 1 1 8 9 0 -1 -1 -9 -10 5 1 6 -1
x10+1 = a10(x+1)10+ a9(x+1)9+ a8(x+1)8+ … + a2(x+1)2+ (-10) (x+1) +6
故以(x+1)2除x10+1之餘式為-10x-4
x2008+1 = a2008(x+1)2008 + … + (-2008)(x+1) + 6
故以(x+1)2除x2008+1之餘式為-2008x-2002
【範例】：設f (x)=2x4?7x3+x2+5x+5，以(x+1)2 除f(x) 之餘式為？ 解 ：餘式 = ( -26)(x+1) +10 = - 26x -16
2 2 -7 -2 -9 -2 1 9 10 11 5 -10 -5 -21 5 5 10=e -1
2 -11 21 -26=d
範例：設f(x)=x4+5x3+ax2+bx+c可被(x?1)3整除，則求(a,b,c)=？ 解 ：
1 5 a b c 1 1 6 a+6 a+b+6 1 6 a+6 a+b+6 a+b+c+6=0 1 7 a +13 1 7 a +13 2a+b+19=0 1 8 1 8 a+21=0 我們有 a+21=0、2a+b+19=0 及a+b+c+6=0 ，故(a,b,c)= (-21, 23, 4)
多項式的係數和：
f (x)= anxn+an?1xn?1+…+a1x+a0，則 各項係數之和=f (1)，常數項=f(0)，奇次項係數之和=
f(1)?f(?1)2，偶數項的係數之和=
f(1)?f(?1)2 。
【範例】：多項式f(x)=(x5?2x3+x+1)1999展開式中，試求下列各小題：
(1)各項係數和 (2)常數項 (3)奇數項係數和 (4)偶數項係數和
Ans：(1) f(1) = ( 1 -2 + 1+ 1)199= 1, (2) f(0) = 1199= 1,
(3) 奇次項係數之和= =
f(1)?f(?1)2f(1)?f(?1)2= 0, (4) 偶數項的係數之和
=1
【範例】：設f(x)=x4?2x3+3x2?5x+1，g(x)=x17+5x8?7x5+x3?4x+1，則
(1)f (x)?g (x)的所有項的係數和= 。(2)f(x)+2g(x)的偶次項係數和= 。 Ans：(1)6 (2)17
【範例】：設f (x)=x+2x+3x+…+19x+20，g (x)=20x+19x+…+2x+1，求f(x)?g(x)的展開式中
x18項的係數為 。 Ans：2660
191918171918
Ans : x項的係數為1×2 +2×3 + 3×4 + … + 19×20 =
1919218
?n(n?1)
n?1 =
n?n+?n = 2660
n?1n?1
餘式定理、因式定理
?i?1i?n(n?1)2n
?i?1i?2n(n?1)(2n?1)6
除法原理：f (x)= g (x)?q(x) + r(x)，deg r(x) 餘式定理：多項式f(x)除以x?a的餘式等於f (a)。 有關f (a)的求值我們可以利用綜合除法得到。 b 餘式定理推廣：多項式f (x)除以ax+b的餘式等於f (? )。 a f (a)的雙重意義：(1)多項函數f(x)在x=a的函數值。 (2) 多項式f (x)除以x?a的餘式。 範例：二次式ax2+bx?4以x+1除之，得餘式3，以x?1除之，得餘式1，若以x?2 除之，所得的餘式為 。 解：f(x) = ax2+bx?4，f(-1) =3且f(1) =1由此解得a與b，再求f(2)=18即為所得。 範例：試求115?4?114?72?113?56?112+15?11+7之值為 。 解： f(x) = x5-4x4-72x3-56x2+15x +7 利用綜合除法求f(11) = 51 範例：設二多項式f(x),g(x)以2x2?3x?2除之，餘式分別為3x+2,?4x+7，則f(x)+g(x)以2x+1 19 除之，其餘式為何？ Ans： 2 解：f(x) = (2x2?3x?2)× p(x) + (3x+2) g(x) = (2x2?3x?2)× q(x) + (-4x+7) f(x)+g(x) = (2x2?3x?2)(p(x)+q(x)) + (-x+9) = (2x+1)(x-2) (p(x)+q(x)) + (-x+9) F(x) = f(x)+g(x) , F(?12) = -(?12) +9 = 19 2 範例：f (x)=2x4+3x3+5x2?6，求2x?1除f(x?3)的餘式。 解：可令g (x)=f (x?3)，再利用餘式定理。 112g ()=f ( 2?3) = f(- 52) = 113113 。 Ans： 22 範例：求多項式(x2+3x+2)3被x2+2x+3除之餘式為何？ 解：x2+3x+2 = (x2+2x+3) + (x-1) (x2+3x+2)3= ( (x2+2x+3) + (x-1) )3 = (x2+2x+3)3 + 3(x2+2x+3)2(x-1) + 3 (x2+2x+3)(x-1)2 + (x-1)3 求多項式(x2+3x+2)3被x2+2x+3除之餘式 = 求多項式(x-1)3被x2+2x+3除之餘式 = 10x+14 範例：試求下列各小題： (1)求多項式f(x)=x?50x+8x?5x?19x+41x+6除以(x?1)(x?7)之餘式。 (2)設多項式f(x)不低於2次，以x?1除之餘2，以x+2除之餘?1，則以(x?1)(x+2) 除f(x)的餘式為何？ (3)設多項式f(x)不低於3次，以x?1除之餘3，以x+1除之餘1，以x?2除 7 5 4 3 2 之餘?2，則求以(x?1)(x+1)(x?2)除f(x)的餘式。 解：(1) f(x)=x7?50x5+8x4?5x3?19x2+41x+6除以(x?1)(x?7) 也就是f(x)=x7?50x5+8x4?5x3?19x2+41x+6除以x2-8x +7 我們可得餘式 11x -29 (2) f(x) = (x-1)(x+2)Q(x) + ax + b 由f(1) = 2 及f(-2) = -1 我們可以解得a = 1 , b =1 我們可得餘式x + 1 (3) f(x) = (x-1)(x+1)(x-2)Q(x) + ax2 + bx + c 由f(1) = 3，f(-1) = 1 及f(2) = -2 我們可以解得a = -2 , b =1, c = 4 我們可得餘式?2x2 +x + 4 Ans：(1)11x?29 (2)x+1 (3)?2x2+x+4 範例：多項式f(x)以x2-3x?4，2x2?3x+1除之餘式各為4x?1，2x+7，試求f(x)以 2x2?9x+4除之餘式為何？ 解： f(x) = (x2-3x?4) × p(x) + 4x?1 = (x-4)(x+1) × p(x) + 4x?1 f(x) = (2x2?3x+1) × q(x) + 2x+7 = (x-1)(2x-1) × q(x) + 2x+7 故有 f(4) = 15 且f( 12) =8 f(x) = (2x2?9x+4) × S(x) + ax +b = (x-4) (2x-1) × S(x) + ax +b 利用f(4) = 15 = 4a +b 及 f( 12) = 8 = 12a +b 我們可解得a = 2，b =7，故f(x)以 2x2?9x+4除之餘式為 2x + 7 範例：多項式f(x)以x(x?1)除之，餘式為 ?x+3，以x(x+1)除之餘式為?3x+3，則f(x) 除以x(x2?1)之餘式為何？ 解：f(x) = x(x?1) × p(x) + (?x+3) f(x) = x(x+1) × q(x) + (?3x+3) 令f(x) = x(x2?1) × S(x) + ax2+ bx + c 我們有 f(0) = 3，f(1) = 2，f(-1)= 6分別代入 f(x) = x(x2?1) × S(x) + ax2+ bx + c。 可以解得 a = 4, b = -2, c = 3 ，故f(x)除以x(x2?1)之餘式為4x2?2x+3。 範例：多項式f(x)除以x?3得餘式16，除以x+4得餘式?19，則f(x)除以(x?3)(x+4)所得的餘 式為？ 解： f(x) = (x-3)(x+4) P(x) + ax + b, 由f(3)=16，f(-4)= -19 我們可解得 a = 5 ，b = 1 Ans：5x+1 範例：多項式f(x)以x2?3x+2除之餘式為3，以x2?4x+3除之得餘式為3x，則以x2?5x+6 除之餘式為？ 解： f(x) = (x2?3x+2) × p(x) +3 = (x-1) (x?2) × p(x) + 3 f(x) = (x2?4x+3) × q(x) +3x = (x-3) (x?1) × p(x) + 3 令f(x) = (x?5x+6 )×r(x) + ax + b = (x-3)(x-2) P(x) + ax + b, 2