由f(2)=3，f(3)= 3 我們可解得 a = 6 ，b = -9
Ans：6x?9
範例：以x2+2x+3除f(x)餘x+12，以(x+1)2除f(x)餘5x+4，則以(x+1)(x2+2x+3)除f(x)的餘式
為？
Ans：?6x2?11x?6
因式定理：設f(x)為一多項式，則 x?? 為f(x) 的因式 ? f(?)=0 。 證明：因為f(x) = (x??) Q(x) 推廣：ax?b為f(x)的因式 ? f( )=0
範例：因式定理的應用：
(1)試問下列何者為f(x)= 4x5+8x4+7x3?22x2?2x+5的因式？ (a)x?1 (b)x+2 (c)2x?1 (d)x?2 (2)設f(x)=x4?2x3+4x2+ax+3之一因式為x?3，求a 之值。
解：(1)利用綜合除法可知(x-1) 及(2x -1)為f(x) 的因式。
(2) 利用綜合除法，
3a+ 66 = 0，故 a = -22
ba範例：設f(x)=4x?11x+14x?10x+3，則下列何者為f(x)之因式？
(A)x+1 (B)4x+3 (C)4x?3 (D)3x?2 (E)x?1 Ans：(C)(E)
範例：若f(x)=x3?5x2+mx+n有因式x2+x?6，則m+n=？
解：x2+ x–6 = (x-2)(x+3)
利用綜合除法
我們有n+2m-12 = 0及n-3m-72=0，可解得n =36，m=-12故n+m = 24 Ans：24
4
3
2
一次因式檢驗定理：
設f(x)=2x+3，g(x)=5x2?x+7，h(x)=f(x)?g(x)=10x3+13x2+11x+21，10x3是2x × 5x2 來的，21是3 × 7來的，因此觀察一次式2x+3|h(x)，而2|10，3|21，這個結果對於一
般整係數的多項式也是成立，我們將它寫成下面的定理： 定理：設f(x)=anxn+a
n?1xn?1+…+a1x + a0 為一個整係數n次多項式，若整係數一次式ax?b
是f(x)的因式，且a,b互質，則a|an且b|a0。
注意：?一次因式檢驗定理的逆敘述不成立。 例如：f(x)=3x1
f(? )?0。 3
3+5x
2+4x?2，
1 1 -2 3 1 4 3 7 a 21 a+21 3 3a+63 3a+66 3
?由此定理，可知若一次式cx?d中c不為an的因數或d不為a0的因數的話，則cx?d必
不為f(x)的因式。故只有滿足a|an且b|a0的一次式ax?b才有可能成為f(x)的因式，
因此我們只要從滿足a|an且b|a0這些ax?b去找一次因式就可以了。
範例：求整係數f(x)=3x3+5x2+4x?2的整係數一次因式。
根據一次因式檢驗定理，假設ax?b為f(x)的一次因式，則a|3且b|2。 我們將所有可能的ax?b組合x+1,x?1,x+2,x?2,3x+1,3x?1,3x+2,3x?2，再 利用綜合除法檢驗看看那一個是f(x)的因式?3x?1是f(x)的因式。
範例：求f (x)=2x4+5x3?x2+5x?3的一次因式。
解：根據一次因式檢驗定理，假設ax?b為f(x)的一次因式，則a|3且b|2。
我們將所有可能的ax?b組合x+1, x-1,x+3, x-3, 2x+1,2x-1, 2x+3,2x-3，
再利用綜合除法檢驗2x?1與x+3知其為f(x)的因式。
5 -1 5 -3 1/2 2 1 6 3 2 1 6 3 0
範例：找出
2 2 2 5 -6 -1 -1 3 2 5 -6 -1 -3 3 0 -3
f(x)=6x4?7x3+6x2?1的所有整係數一次式。
Ans：2x?1、3x+1
範例：找出f(x)= x4+2x3+6x2+5x +2 的所有整係數一次式。
Ans：沒有整係數一次式。x4+2x3+6x2+5x +2 = (x2+x+3) (x2+x+ 2)
定理：設f(x)為整係數多項式，a,b為不同的整數，證明：(a?b)|f(a)?f(b)。
證明：f(x) = cnxn+cn?1xn?1+ … + c1x + c0
f(a) = cnan+cn?1an?1+ … + c1a + c0 f(b) = cnbn+cn?1bn?1+ … + c1b + c0
f(a)–f(b) = cn( an- bn)+ cn?1( an?1- bn?1) + … + c1( a –b) = ( a - b) Q(x)
範例：歷史學家為了推敲大數學家歐幾里得的出生年份，發現在西元前336年時，流傳了一
則有趣的故事：那一年的某一天，歐幾里得造了一個整係數的多項式，並興高采烈的跟旁人說「我現在的年齡剛好是這個多項式的一個根。」旁人為了想知道歐幾里得的年齡，於是將7及一個比7大的整數代入歐幾里得的多項式，結果得到77及85的值。這時候歐幾里得笑著說：「我的年齡有你代的數那麼小嗎？」你能根據這些史料推測出歐幾里得出生的年份嗎？
[提示：設歐幾里得提及的多項式為f(x)，而歐幾里得有a歲，且f(7)=77，f(b)=85，且b>7，由例題13可得b?7|f(b)?f(7) ? b?7|8，且7?a|f(7)?f(a)=77，b?a|f(b)?f(a)=85，再根據這些條件，去求得a的值，a=14，所以歐幾里得出生的年份是西元前350年。]