U1???r???E?dl???E?dl?q?1Q111??????(r?R1)内球电位??4??0?R1R2R3?4??0R3q?11Q11??????(R1?r?R2)??r4??0?rR2R3?4??0R3???q?QU3??E?dl?(R2?r?R3)外球电位r4??0R3?q?Q??U4??E?dl?(r?R3)r4??0rU2??
（2）两球的电位差为 ?U??R2R1??E?dl??11???? ?4??0?R1R2??qq?Q 4??0R3（3）以导线连接内外球，所有电荷将分布于球壳的外表面上， U内?U外??U?0（4）若外球接地，则情形（1）（2）中球壳内表面带电-q,外表面不带电
内球电位U1??
R2R1??E?dl?q?11?????4??0?R1R2??q?11? ??外球电位U2?0??U???4??0?R1R2??（5）内球电位为零。设其上所带电量为q′,
内球电位U1??QR1R21?q?q?q??Q?????0?q???R14??0?R1R2R3?R1R2?R2R3?R1R3?R1?R1Q(R1?R2)1q?1外球电位U2??E?dl??dr?R2R24??r24??0R1R2?R2R3?R1R30???E?dl??U?U2?
Q(R1?R2)4??0R1R2?R2R3?R1R31９、 上题中，设q=10-10C,Q=11×10-10C,R1=1cm，R2=3cm，R3=4cm，试计算各种情形中的
U1、U2和△U，并画出U—r曲线。 解：利用上题结果代入数据得
q?1Q111???????4??R?330V4??0?RRR23?03?1Q1U2??270V4??0R3(1)U1?(2)?U?U1?U2?60V(3)U1?U2?Q4??01?270VR3
(4)U1?60V,U2?0,?U?U1?U2?60V(5)U1?0,U2?180V,?U?U1?U2??180V函数曲线如图所示。 E
R1 R2 R3
r R1 R2 R3 U r １０、 设范德格喇夫起电机的球壳与传送带上喷射电荷的尖针之间的电位差为3.0×106V,
如果传送带迁移电荷到球壳上的速率为3.0×10-3C/s，则在仅考虑电力的情况下，必须用多大的功率来开动传送带？
解：开动传送带的功率至少应等于迁移电荷作功的功率
N?Aq?U??vU?9000W tt１１、 德格喇夫起电机的球壳直径为1m。空气的击穿场强为30KV/cm。这起电机最多能
达到多高的电位？
解：对空间任一点P，球壳所带电荷产生的电场的场强和电位分别为
q?4??0r2??U?r 1q?E?U?4??0r??E?1Umax?ER?1.5?106V
１２、 同轴传输线是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属直圆柱体构成。设内圆柱体的电
位为U1，半径为R1，外圆柱体的电位为U2，内半径为R2，求其间离轴为r处（R1 解：由高斯定理可解得内圆柱体和外圆柱体之间的电场强度为 ?E??? er2??0rR1?r? 设r处的电位为U，则U1?U??E?dl?R2?r ln2??0R1?U1?U2??R1??E?dl?R?ln22??0R1 U?U2 ??1R2??0ln2R1?U?U1?ln(r/R1)?rln?U1?(U1?U2)2??0R1ln(R2/R1)１３、 同轴传输线是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属直圆柱体构成。设内圆柱体的半 径为R1，外圆柱体的内半径为R2，两圆柱体的电位差为U。求其间离轴为r1和r2处（R1 解：利用上题结果，离轴为r1和r2处（R1 ?r2?rln(r2/r1)? U1?U2??E?dl?ln1?Ur12??0r2ln(R2/R1)１４、 一很长直导线横截面的半径为a，这线外套有内半径为b的同轴导体圆筒，两者互 相绝缘，外筒接地，它的电位为零。导线电位为U，求导线和筒间的电场强度分布。 ?解：由高斯定理可求得a ?? er2??0rUa?Ub??ab??E?dl??bln2??0a ??Ua?Ub?U2??0ln(b/a)ln(b/a)?E??U?2??0rrln(b/a)------------------------------------------------------------------------------ §2.2 电容和电容器 思考题： １、 两导体A、B相距很远（因此它们都可以看成是孤立的），其中A原来带电，B不带电。 现用一根细长导线将两球联接。电荷将按怎样的比例在两球上分配？ 答：当用导线联接A、B时，UA=UB，两导体所带电量与电容成正比。如果两导体为球形， 则 qACA4??0RARA???，即电量与导体球的半径成正比。 qBCB4??0RBRB２、 用一个带电的小球与一个不带电的绝缘大金属球接触，小球上的电荷会全部传到大球 上去吗？为什么？ 答：只要大球的半径是有限的，小球的电荷就不会全部传到大球上去。因为两球接触后，可 看作一个孤立导体，表面的电荷分布与导体表面曲率有关。两球曲率不同，电荷的面密度不同。只要大球的半径与小球半径之比不是充分大，小球上保留的电荷与大球上的电荷相比就不能忽略。 ３、 将一个带电导体接地后，其上是否还会有电荷？为什么？分别就此导体附近有无其他 带电体的不同情况加以讨论。 答：当带电体附近无其他带电体时，将带电体接地后，实验表明带电体上的电荷就会消失， 这可以由静电平衡时，导体表面的电荷分布与曲率有关解释。 qQ?r，由于实际问题 R中，带电体的线度与地球半径比较可以忽略，即r/R→0，所以q/Q→0.可见，不论带电体和地球联接前如何带电，它们连接后，带电体上保留的电荷可以视为零。 当接地带电体附近有其他带电体时，由于其他带电体在此接地带电体上产生异号感应电荷，接地导体上仍然还会有电荷。不过，这些电荷的符号和大小与原来的带电体情况无关，只取决于附近其他带电体所带的电荷的符号、大小和位置。 ４、 附图中所示是用静电计测量电容器两极板间电压的装置。试 说明，为什么电容器上电压大时，静电计的指针偏转也大？ 答：静电计可看作一个电容器，外壳为一极板，指针和支撑刻度 盘的杆子为另一极板。平行板电容器与静电计构成的电容器 并联。电压相等。电容一定时，电量与电压成正比。当平行板电容器的电压高时，静电计电容器上的电压也高。因而静电计指针和支撑刻度盘的金属杆上的电量也大，从而指针和杆子的排斥作用也大，静电计的指针偏转也就大。 ５、 附图中三块平行金属板构成两个电容器。试判断图a、b中哪种接法是串联，哪种接法 是并联。 + + + + + + + + + - - - - - - - b 答：a是并联。b是串联。 ６、 判断图a、b中两个同心球电容器是串联还是并联。 答：a是并联。b是串联。 ７、 附图中四个电容器大小相同（C1=C2=C3=C4），电源电压为U，下列情况下每个电容器 上的电压是多少？ （１） 起先电键K2断开，接通K1再接通K2，然后断开K1； （２） 起先电键K2断开，接通K1，断开K1，然后接通K2。 答：（1）K2断开，接通K1，U1=U2=U3=U/3，U4=0； 再接通K2，C2与C4并联，C24=2C U1 =U3=2U24，U1 +U3+U24=U； U1 =U3=2U/5 U24=U/5 断开K1，情况不变。 （总电压为U保持不变） （2电键K2断开，接通K1，U1=U2=U3=U/3，U4=0； 断开K1，电量保持一定； 接通K2，U1= U3=U/3，U24=U/6，U2=U4=U/6 （电量不变，总电容增大，总电压减小） ８、 附图中三平行金属板面积相等，且等距。下列情形下各板的电位是多少？设原来电键 K和K1已接通，K2和K3是断开的。 （１） 断开K，断开K1，接通K2； C1 C2 C3 K2 C4 K1 U a b a