2n)?n?2?. 3n3n123n112n?1n设Tn??2?3???n， ① Tn? 2?3??n?n?1. ②
33333333311(1?n)21111n3?n?1?2n?3， ①?②得：Tn??2?3???n?n?1?3n?1n?11333333322?31?332n?3 ∴Tn??. n44?3n(n?1)32n?3(n2?n?3)?3n?2n?3??? 故Sn?(1?2?3???n)?2Tn?. …9分 222?3n2?3n13n(3) 证：. ?nan3?22?an2?x2?ln?1??，即 ∵不等式ln(1?x)?对x?0成立，令x?，得
21?xan?an?1?an(2) 解：nan?n(1??2??2?3n??3n?1?2?2n?1n?ln??1??ln?n?1??ln?n??ln(3?2)?ln(3?2). 于是 an?2?3?2??3?2??an?222?????[ln(32?2)?ln(31?2)]?[ln(33?2)?ln(32?2)]?? a1?2a2?2an?2 ?[ln(3n?1?2)?ln(3n?2)]?ln(3n?1?2). ∴
1111?????ln(3n?1?2)?ln3n?1?2. …………14分 a1?2a2?2an?222、解：（1）?1211，??(?1)n??(?1)n?(?2)[?(?1)n?1]，
anan?1anan?1又??11n??(?1)?3，∴数列????1??是首项为3，公比为?2的等比数列． a1?an?（2）依（Ⅰ）的结论有
11?(?1)n?3(?2)n?1，即?3(?2)n?1?(?1)n?1. ananbn?(3?2n?1?1)2?9?4n?1?6?2n?1?1．
1?(1?4n)1?(1?2n)Sn?9??6??n?3?4n?6?2n?n?9．
1?41?2(2n?1)?1(?1)n?1n?1?(?1)，又由(Ⅱ)有an??c?（3）?sin ． nn?1n?123?2?13?2?1 - 6 -
则T1n?3?1?13?2?1?13?22?1???13?2n?1?1 ?1 ( 1?12?1111?1n3222?????2n?1) = 3 1?12=23 ( 1－12?22n)<3 ∴ 对任意的n?N，Tn?3． 3、? 的最大值为 ?3
， 此时x=0，∴ 点P的坐标为（0，±3 ）.
14分
21. (Ⅰ)∵函数 f (x) 的图象关于关于直线x=－3
2 对称,
∴a≠0,－b3
2a =－2 , ∴ b=3a①
∵其图象过点(1,0)，则a+b－2
3 =0 ②
由①②得a= 11
6 , b= 2 . 4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)?1x2?1x?2 ，∴S1212623n?f(an)=6an?2an?3
当n≥2时，S16a212n?1=n?1?2an?1?3 .
两式相减得 a12211n?6(an?an?1)?2an?2an?1
∴16(a2?a21nn?1)?2(an?an?1)?0 ，∴(an?an?1)(an?an?1?3)?0 ?an?0,?an?an?1?3，∴{an}是公差为3的等差数列，且
as1121?1?6a21?2a21?3?a1?3a1?4?0
∴a1 = 4 (a1 =－1舍去）∴an =3n+1 9分
（Ⅲ）ba3n?1n?n2n=2n，Tn?42?73n?122???2n ① 1472T?3n?1n22?23???2n?1 ② ①--② 得12T1113n?1n?2?3(22?23???2n)?2n?1
1(1?1?2?3?42n?1)?3n?133n?1n?1 ?Tn?4?3??7?n3? 7 1?122n?1?2n2n2?T5?2?3n?72n?1?(3n?7)n?2n?2n， (1) 当n=1、2时，Tn －5<0, ∴Tn <5；
(2) 当n=3时，Tn －5=0, ∴ Tn =5；
- 7 -
(3) 当n≥ 4时，记 h (x) = 2x+1－(3x+7), h ' (x)= 2x+1ln2－3,
当x >3时，有：h'(x)>23+1ln2－3=23×2×ln2－3=8ln22－3=8ln4－3>8－3>0， 则h(x)在(3, +?)上单调递增，∴ 当n≥4时，2n+1－(3n+7)>0 ∴Tn －5>0, ∴ Tn >5 综上：当n≤2, Tn<5；当n=3, Tn=5；当n≥4, Tn>5. 14分
5、解：（I）证明：?an?2?3an?1?2an,
?an?2?an?1?2(an?1?an),an?2?an?1* ?a1?1,a2?3,??2(n?N).an?1?an??an?1?an?是以a2?a1?2为首项，2为公比的等比数列。
（II）解：由（I）得an?1?an?2n(n?N*),
?an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?...?(a2?a1)?a1
?2n?1?2n?2?...?2?1?2n?1(n?N*).
（III）证明：?4142...4nb?1b?1b?1?(an?1)bn,?4(b1?b2?...?bn)?2nbn,
?2[(b1?b2?...?bn)?n]?nbn, ① 2[(b1?b2?...?bn?bn?1)?(n?1)]?(n?1)bn?1. ②②－①，得2(bn?1?1)?(n?1)bn?1?nbn,……10分 即(n?1)bn?1?nbn?2?0. ③ nbn?2?(n?1)bn?1?2?0. ④ ④－③，得nbn?2?2nbn?1?nbn?0,
即bn?2?2bn?1?bn?0,?bn?2?bn?1?bn?1?bn(n?N*),??bn?是等差数列.
?b1b3?426、解:(Ⅰ)由 ?知b1,b3是方程x?5x?4?0的两根,注意到bn?1?bn得
?b1?b3?5b1?1,b3?4.……2分
?b2?b1b3?4得b2?2.?b1?1,b2?2,b3?4
b2n?1n?1??等比数列.的公比为,……4分 ?2b?b?bq?2?nn1b1?3?n?1?3?n?2.……5分
∵an?1?an???n?1??2???n?2??1……7分
?数列?an?是首相为3,公差为1的等差数列. ……8分
- 8 -
2(Ⅱ)an?log2bn?3?log22n?1(Ⅲ) 由(Ⅱ)知数列?an?是首相为3,公差为1的等差数列,有
a221?a2?a3?……?am=a1?a1?a2?a3?……?am?a1
=32?m?3?m?m?1?m22?1?3?6?3m??m2……10分 a46?48 ?6?3m?m2?m2?48,整理得m2?5m?84?0,解得?12?m?7.…11分 ?m的最大值是7. ……12分
7、.解：(1)设等比数列?an?的公比为q.
则由等比数列的通项公式aa3?12n?a1qn?1得3?a1q,?q?82?4, 又an?0,?q?2LL?2分?
?数列?an?的通项公式是an?2?2n?1?2nLL?3分?.
?2?1a?1?11a?L?1a23an1?11
?12?12?1122n?2223?L?2n?1?12?1?12nLL?6分?, Qn?1,?1?12n?1LL?7分?, ?1a?1?1?L?1?1LL?8分?. 1a2a3an?3?由bn?2log22n?1?2n?1LL?9分?,又Qbn?bn?1?2n?1???2?n?1??1???2?常数?, ?数列?bn?是首项为3,公差为2的等差数列LL?11分?,?数列?b100?99n?的前100项和是S100?100?3?2?2?10200LL?12分? 9、解：（1）
解法一：由an?1??an??n?1?(2??)2n,(n?N*,??0)，可得
an?1?(2?)n?1?an2?n?1??()n?1………………………………2分
n?所以{an?(2??)n}是首项为0，公差为1的等差数列.
n - 9 -
所以
an?n2?()n?n?1即an?(n?1)?n?2n,(n?N*)……………………4分
?解法二：因a1?2且an?1??an??n?1?(2??)2n得
a2?2???2?(2??)2??2?22，
a3??(?2?22)??3?(2??)22?2?3?23， a4??(2?3?23)??4?(2??)23?3?4?24，
…………………………………………………………
由此可猜想数列{an}的通项公式为：an?(n?1)?n?2n,(n?N*)…………2分 以下用数学归纳法证明： ①当n=1时，a1?2，等式成立；
②假设当n=k时，有ak?(k?1)?k?2k成立，那么当n=k+1时，
ak?1??ak??k?1?(2??)2k
??[(k?1?)k?k2?]??n1*k?(2???)(2k?1?1)?k?1?2k?1成立
所以，对于任意n?N，都有an?(n?1)?n?2n成立……………………4分 （2）解：设Tn??2?2?3?????(n?2)?n?1?(n?1)?n……①
?Tn??3?2?4?????(n?2)?n?(n?1)?n?1……②
当??1时，①?②得(1??)Tn??2??3??4??????n?(n?1)?n?1
?2(1??n?1)??(n?1)?n?1
1???2??n?1(n?1)?n?1(n?1)?n?2?n?n?1??2…………6分 Tn???(1??)21??(1??)2
10、解：（Ⅰ）由a1?1，Sn?n2an， ① 22∴ Sn?1?(n?1)an?1， ② ①－②得：an?Sn?Sn?1?nan?(n?1)an?1，即
22 - 10 -