备战2011高考数学――压轴题跟踪演练系列全集
1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M?1,2?，它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.
（Ⅰ）求这三条曲线的方程；
（Ⅱ）已知动直线l过点P?3,0?，交抛物线于A,B两点，是否存在垂直于x轴的直线l?被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l?的方程；若不存在，说明理由.
解：（Ⅰ）设抛物线方程为y2?2px?p?0?，将M?1,2?代入方程得p?2
2? 抛物线方程为: y?4x………………………………………………（1分）
由题意知椭圆、双曲线的焦点为F??1,0?1,F2?1,0?, ? c=1…………………（2分） 对于椭圆，2a?MF1?MF2??1?1??22??1?1??4?2?22
? a?1?? a?1?22222222??2?3?22? b?a?c?2?22? 椭圆方程为： x2………………………………（4分）
?y23?222?22?1对于双曲线，2a??MF1?MF2?22?2
? a??22?1? a??3?22? b??c??a??22?2? 双曲线方程为： x2222………………………………（6分）
?y23?2222?2?1（Ⅱ）设AP的中点为C，l?的方程为：x?a，以AP为直径的圆交l?于D,E两点，DE中点为H 令A?x1,y1?, ? C?? DC? CH?12AP?x1?322?x1?3y1,2?212??………………………………………………（7分） ?22?x1?3??y1?a?122
?x?1?2a??3? DH2?DC?CH1212??x?3??y2????x?2a??3?111??4?4? ??a-2?x1?a?3a2当a?2时,DH2??4?6?2为定值;…………（12分）
? DE?2DH?22为定值此时l?的方程为： x?22．（14分）已知正项数列?an?中，a1?6，点An?an,an?1?在抛物线y2?x?1上；数列?bn?中，点
Bn?n,bn?在过点?0,1?，以方向向量为?1,2?的直线上.
（Ⅰ）求数列?an?,?bn?的通项公式； （Ⅱ）若f?n?????an, ?n为奇数???bn, ?n为偶数?，问是否存在k?N，使f?k?27??4f?k?成立，若存在，求出k值；若不存在，说明理由； （Ⅲ）对任意正整数n，不等式
an?1?1??1??1???1???1????1?bbb1??2?n????ann?2?an?0成立，求正数a的取值范围.
解：（Ⅰ）将点An?an,an?1?代入y2?x?1中得
an?1?an?1 ? an?1?an?d?1? an?a1??n?1??1?n?5直线l:y?2x?1, ? bn?2n?1??n?5, ?n为奇数???2n?1, ?n为偶数?…………………………………………（4分）
（Ⅱ）f?n???………………………………（5分）
当k为偶数时，k?27为奇数， ? f?k?27??4f?k?? k?27?5?4?2k?1?, ? k?4当k为奇数时，k?27为偶数，? 2?k?27??1?4?k?5?, ? k?综上，存在唯一的k?4符合条件。352……………………（8分）
?舍去?（Ⅲ）由
an?1?1??1??1???1???1????1?bbb1??2?n????ann?2?an?0
即a??1??1??1???1???1????1?b1??b2??bn?2n?3?1?1??1??1???1???1????1?b1??b2??bn?2n?3?1?1??1??1??1?1?1??1?1?????????b1??b2??bn??bn?1?2n?5?1?2n?3?1???1???bn?1?2n?5??12n?32n?4??2n?52n?32n?42n?5?2n?3
记f?n??? f?n?1??f?n?1?f?n?2? ?4n?16n?164n?16n?152? f?n?1??f?n?, 即f?n?递增，? f?n?min?f?1??? 0?a?451515?43?4515,………………………………（14分）
3.（本小题满分12分）将圆O: x2?y2?4上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变),
得到曲线C. (1) 求C的方程;
(2) 设O为坐标原点, 过点F(3, 0)的直线l与C交于A、B两点, N为线段AB的中点, 延长线段ON交C于点E.
求证: OE?2ON的充要条件是|AB| ?3.
?x??x,解: (1)设点P(x?, y?), 点M的坐标为(x, y),由题意可知?………………(2分)
?y?2y,?22又x??y??4,∴x?4y?4?222x242?y2?1.
所以, 点M的轨迹C的方程为
x4?y?1.………………(4分)
(2)设点A(x1, y1), B(x2, y2), 点N的坐标为(x0, y0), ㈠当直线l与x轴重合时, 线段AB的中点N就是原点O, 不合题意,舍去; ………………(5分) ㈡设直线l: x?my?3,
??x?my?3由?消去x,
22??x?4y?4得(m2?4)y2?23my?1?0………………①
3mm?42∴y0??,………………(6分)
∴x0?my0?3??3mm22?4?3m?43m22?4?43m?42,
∴点N的坐标为(43m?42, ?3mm?42).………………(8分)
①若OE?2ON, 坐标为, 则点E的为(48(m283m?422, ?23mm?42), 由点E在曲线C上,
得
?4)2?12m(m222?4)?1, 即m?4m?32?0, ∴m42?8 (m2??4舍去).
由方程①得|y1?y2|?12m?4m?16m?42222?4m?1m?422?1,
又|x1?x2| ? |my1?my| ? |m(y1?y2)|,
∴|AB| ? m2?1|y1?y2| ?3.………………(10分) ②若|AB| ?3, 由①得
4(m?1)m?46622?3,∴m2?8.
∴点N的坐标为(33, ?), 射线ON方程为: y??22x (x?0),
?23?2x??x (x?0)236?y???3由? 解得? ∴点E的坐标为(, ?), 2336?x2?4y2?4?y????3?∴OE?2ON.
综上, OE?2ON的充要条件是|AB| ?3.………………(12分) 4.（本小题满分14分）已知函数f(x)?(x?R). x4?211(1) 试证函数f(x)的图象关于点(, )对称;
241(2) 若数列{an}的通项公式为an?f(Sm;
nm) (m?N?, n?1, 2, ?,m), 求数列{an}的前m项和
(3) 设数列{bn}满足: b1?13, bn?1?b2?bn. 设Tn?n1b1?1?1b2?1???1bn?1.
若(2)中的Sn满足对任意不小于2的正整数n, Sn?Tn恒成立, 试求m的最大值.
解: (1)设点P0(x0, y0)是函数f(x)的图象上任意一点, 其关于点(, )的对称点为P(x, y).
2411?x??由??y???x02?y02?x?1?x0,?2 得? 11?y??y0.?2?4?1所以, 点P的坐标为P(1?x0, 12?y0).………………(2分)
14x0由点P0(x0, y0)在函数f(x)的图象上, 得y0?∵f(1?x0)?141?x0?2.
?2?4x0x04?2?44x0?42(4x0x0?2),
12?y0?12?14x0?2?2(41x0?2)1, ∴点P(1?x0, 12?y0)在函数f(x)的图象上.
∴函数f(x)的图象关于点(, )对称. ………………(4分)
2(2)由(1)可知, f(x)?f(1?x)?即f(km)?f(m?km)?12412, 所以f(12km)?f(1?km)?12 (1?k?m?1),
, ?ak?am?k?,………………(6分)
由Sm?a1?a2?a3???am?1?am, ……………… ① 得Sm?am?1?am?2?am?3???a1?am, ………………② 由①＋②, 得2Sm?(m?1)?∴Sm?11212?2am?m?12?2?16?m2?16,
(3m?1).………………(8分) 13,bn?1?bn?bn?bn(bn?1), ………………③
2(3) ∵b1?∴对任意的n?N?, bn?0. ………………④ 由③、④, 得
1bn?11b22?1bn(bn?1)1b21b3?1bn?1bn?11,即
1bn?11b1?1bn1?1bn?1.
∴Tn?(1b1?)?(?)???(bn?1bn?1)??bn?1?3?1bn?1.……………(10分)
∵bn?1?bn?bn?0, ?bn?1?bn,∴数列{bn}是单调递增数列.