1．（本小题满分14分）
已知椭圆
xa22?yb22、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，?1(a?b?0)的左、右焦点分别是F1（－c，0）
满足|F1Q|?2a.点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足PT?TF2?0,|TF2|?0. （Ⅰ）设x为点P的横坐标，证明|F1P|?a? （Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；
（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M， 使△F1MF2的面积S=b2.若存在，求∠F1MF2
的正切值；若不存在，请说明理由.
cax；
本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分. （Ⅰ）证法一：设点P的坐标为(x,y).
由P(x,y)在椭圆上，得
ba22|F1P|??(a?(x?c)?yca222?(x?c)?b?22x2
x).由x?a,知a?cax??c?a?0，所以 |F1P|?a?cax.………………………3分
证法二：设点P的坐标为(x,y).记|F1P|?r1,|F2P|?r2,
则r1?(x?c)?y,r2?2222(x?c)?y.
cax. cax?0.
cax|.
22由r1?r2?2a,r1?r2?4cx,得|F1P|?r1?a?证法三：设点P的坐标为(x,y).椭圆的左准线方程为a?
由椭圆第二定义得
|F1P||x?a2?|ca，即|F1P|?ca|x?a2c|?|a?c 由x??a,知a?cax??c?a?0，所以|F1P|?a?cax.…………………………3分
（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为(x,y).
当|PT|?0时，点（a，0）和点（－a，0）在轨迹上.
当|PT|?0且|TF2|?0时，由|PT|?|TF2|?0，得PT?TF2.
又|PQ|?|PF2|，所以T为线段F2Q的中点. 在△QF1F2中，|OT|?12222|F1Q|?a，所以有x?y?a.
综上所述，点T的轨迹C的方程是x2?y2?a2.…………………………7分
解法二：设点T的坐标为(x,y). 当|PT|?0时，点（a，0）和点（－a，0）在轨迹上.
当|PT|?0且|TF2|?0时，由PT?TF2?0，得PT?TF2. 又|PQ|?|PF2|，所以T为线段F2Q的中点.
x??c?x?,??2设点Q的坐标为（x?,y?），则 ???y?y.?2?
因此??x??2x?c,?y??2y. ①
由|F1Q|?2a得(x??c)2?y?2?4a2. ② 将①代入②，可得x2?y2?a2.
综上所述，点T的轨迹C的方程是x2?y2?a2.……………………7分
（Ⅲ）解法一：C上存在点M（x0,y0）使S=b2的充要条件是
222?x0?y0?a, ? ?12??2c|y0|?b.?2③ ④ b222. 所以，当a?b时，存在点M，使S=b；
由③得|y0|?a，由④得|y0|?当ab2cc?时，不存在满足条件的点M.………………………11分 时，MF1?(?c?x0,?y0),MF2?(c?x0,?y0)，
222222c当a?b2c由MF1?MF2?x0?c?y0?a?c?b， MF1?MF2?|MF1|?|MF2|cos?F1MF2，
S?12|MF1|?|MF2|sin?F1MF2?b，得tan?F1MF2?2.
22解法二：C上存在点M（x0,y0）使S=b的充要条件是
222③ ?x0?y0?a, ? ?12??2c|y0|?b.④ ?2
由④得|y0|?b2c. 上式代入③得x?a?202bc42?(a?b2c)(a?b2c)?0.
2于是，当a?b时，存在点M，使S=b2；
c当a?b2时，不存在满足条件的点M.………………………11分
y0x0?cy0x0?ck1?k21?k1k2|?2.…………14
c
2当a?b时，记k1?kFM?c1,k2?kF2M?，
由|F1F2|?2a,知?F1MF2?90?，所以tan?F1MF2?|分
2．（本小题满分12分）
函数y?f(x)在区间（0，+∞）内可导，导函数f?(x)是减函数，且f?(x)?0. 设
x0?(0,??),y?kx?m是曲线y?f(x)在点（x0,f(x0)）得的切线方程，并设函数g(x)?kx?m.
（Ⅰ）用x0、f(x0)、f?(x0)表示m； （Ⅱ）证明：当x0?(0,??)时,g(x)?f(x)；
322 （Ⅲ）若关于x的不等式x?1?ax?b?2x3在[0,??)上恒成立，其中a、b为实数，
求b的取值范围及a与b所满足的关系.
本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.满分12分 （Ⅰ）解：m?f(x0)?x0f?(x0).…………………………………………2分 （Ⅱ）证明：令h(x)?g(x)?f(x),则h?(x)?f?(x0)?f?(x),h?(x0)?0. 因为f?(x)递减，所以h?(x)递增，因此，当x?x0时,h?(x)?0；
当x?x0时,h?(x)?0.所以x0是h(x)唯一的极值点，且是极小值点，可知h(x)的
最小值为0，因此h(x)?0,即g(x)?f(x).…………………………6分
（Ⅲ）解法一：0?b?1，a?0是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. x?1?ax?b,即x?ax?(1?b)?0对任意x?[0,??)成立的充要条件是
122 a?2(1?b)2.
另一方面，由于f(x)?3212322x3满足前述题设中关于函数y?f(x)的条件，利用（II）的结果可知，
?322ax?b??x的充要条件是：过点（0，b）与曲线y32x3相切的直线的斜率大于a，该切线的方程为
y?(2b)x?b.
1
于是ax?b?322x3的充要条件是a?(2b)2.…………………………10分
综上，不等式x?1?ax?b?1212322x3对任意x?[0,??)成立的充要条件是
(2b)??a?2(1?b)2. ①
?121显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式(2b)?2(1?b)2. ②
有解、解不等式②得2?2?b?2?2. ③
44因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分
（Ⅲ）解法二：0?b?1,a?0是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. x2?1?ax?b,即x2?ax?(1?b)?0对任意x?[0,??)成立的充要条件是
1 a?2(1?b)2.………………………………………………………………8分
322 令?(x)?ax?b?x，于是ax?b?3322x3对任意x?[0,??)成立的充要条件是
?(x)?0. 由??(x)?a?x当0?x?a?3?13?0得x?a?3?3.
?3时??(x)?0;当x?a?3时，??(x)?0，所以，当x?a?12时，?(x)取最小值.因此
?(x)?0成立的充要条件是?(a
综上，不等式x(2b)?122)?0，即a?(2b)322.………………10分
?1?ax?b?1x3对任意x?[0,??)成立的充要条件是
?a?2(1?b)2. ①
?121显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式(2b)有解、解不等式②得2?42?b?2?42.
?2(1?b)2 ②
因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分
3．（本小题满分12分）
*已知数列?an?的首项a1?5,前n项和为Sn，且Sn?1?Sn?n?5(n?N)
（I）证明数列?an?1?是等比数列；
（II）令f(x)?a1x?a2x2???anxn，求函数f(x)在点x?1处的导数f?(1)并比较2f?(1)与23n2?13n的大小.
解：由已知Sn?1?Sn?n?5(n?N*)可得n?2,Sn?2Sn?1?n?4两式相减得
Sn?1?Sn?2?Sn?Sn?1??1即an?1?2an?1从而an?1?1?2?an??1当n?1时S2?2S1?1?5所以
a2?a1?2a?6又a1?5所以a2?11从而a2?1?2?a1?1? 1故总有an?1?1?2(an?1)，n?N*又a1?5,a1?1?0从而（II）由（I）知an?3?2n?1
an?1?1an?1?2即数列?an?1?是等比数列；
因为f(x)?a1x?a2x2???anxn所以f?(x)?a1?2a2x???nanxn?1 从而f?(1)?a1?2a2???nan=?3?2?1??2?3?22?1????n(3?2n?1) =3?2?2?22???n?2n?-?1?2???n?=3?n?1??2n?1?n(n?1)2?6
由上2f?(1)??23n2?13n??12?n?1??2n-12?2n2?n?1?=
n?① 12?n?1??2?12?n?1?(2n?1)=12(n?1)?2??(2n?1)?n当n?1时，①式=0所以2f?(1)?23n2?13n； 当n?2时，①式=-12?0所以2f?(1)?23n2?13n 当n?3时，n?1?0
又2??1?1??Cn?Cn???Cnn01nn?1B?Cn?2n?2?2n?1
nyAn?0从而2f?(1)?23n2?13n ?所以?n?1???2??2n?1???0即①
4．(本小题满分14分) 已知动圆过定点?p?,0?，且与直线x??相切，其中p?0.
2?2?NMo?p?F?,0??2?x??p2x?p（I）求动圆圆心C的轨迹的方程；
（II）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为?和?，当?,?变化且???为定值?(0????)时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标.
p?,0?为记为F，过点M作直线x??的垂线，垂足为N，由题
2?2?解：（I）如图，设M为动圆圆心，??p