∵当b>0时，
2kb2可取一切正数，
∴
|ST||SP|?|ST||SQ|的取值范围是（2，+?）.
方法三：
由P、Q、T三点共线得kTQ=KTP， 即y2?bx2=
y1?bx1.
则x1y2－bx1=x2y1－bx2，即b(x2－x1)=(x2y1－x1y2).
x2?12x1?x1?x2?x1212x22于是b==－
12x1x2.
∴
|ST||SP|x2x1?|ST||SQ|=
|b||y1|?|b||y2||?12x1x2||?12x1x2|=2 1+2 1=|x2x1|+|x1x2|≥2.
∵||可取一切不等于1的正数，
∴
|ST||SP|?|ST||SQ|的取值范围是（2，+?）.
3．（本小题满分12分）
某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失. 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.
（总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.） ．．．
本小题考查概率的基本知识和数学期望概念及应用概率知识解决实际问题的能力，满分12分. 解：①不采取预防措施时，总费用即损失期望为400×0.3=120（万元）；
②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为
1－0.9=0.1，损失期望值为400×0.1=40（万元），所以总费用为45+40=85（万元）
③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85=0.15，损失期望值为400×0.15=60（万元），所以总费用为30+60=90（万元）；
④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75（万元），发生突发事件的概率为（1－0.9）（1－0.85）=0.015，损失期望值为400×0.015=6（万元），所以总费用为75+6=81（万元）.
综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少.
4．（本小题满分14分）
已知a?0,数列{an}满足a1?a,an?1?a?1an,n?1,2,?.
（I）已知数列{an}极限存在且大于零，求A?liman（将A用a表示）；
n??（II）设bn?an?A,n?1,2,?,证明:bn?1??（III）若|bn|?12nbnA(bn?A);
对n?1,2,?都成立，求a的取值范围.
本小题主要考查数列、数列极限的概念和数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.
解：（I）由liman存在,且A?liman(A?0),对an?1?a?n??n??1an2两边取极限得
A?a?1A,解得A?a?a?421an?2.又A?0,?A?a?a?421.
.
（II）由an?bn?A,an?1?a?1bn?A1A得bn?1?A?a?1bnbn?A.?bn?1?a?A???
即bn?1??bn?A??A(bn?A)bnA(bn?A)12
对n?1,2,?都成立1212
（III）令|b1|??|122,得|a?(a?a?4)|?2.
(a?4?a)|?212.32n ?a?4?a?1,解得a?32时,|bn|?12.对n?1,2,?都成立.
现证明当a?
（i）当n=1时结论成立（已验证）.
（ii）假设当n?k(k?1)时结论成立,即|bk|?|bk?1|?|bk||A(bk?A)|?1A|bk?A|?12k12k,那么
故只须证明
1A|bk?A|?12,即证A|bk?A|?2对a?32成立.
由于A?a?a?422?2a?4?a2,
而当a?32时,a?4?a?1,?A?2.122k2
?|bk?A|?A?|bk|?2?故当a?32时,|bk?1|?12??1,即A|bk?A|?2.?12k?11k.
即n=k+1时结论成立.
根据（i）和（ii）可知结论对一切正整数都成立. 故|bn|?12n对n?1,2,?都成立的a的取值范围为[32,??).
5．（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分10分）
已知a?R，函数f(x)?x2|x?a|.
(Ⅰ)当a?2时，求使f(x)?x成立的x的集合； (Ⅱ)求函数y?f(x)在区间[1，2]上的最小值.
本小题主要考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想和分析推理能力. 满分14分. 解：（Ⅰ）由题意，f(x)?x2x?2.
当x?2时，f(x)?x2(2?x)?x，解得x?0或x?1； 当x?2时，f(x)?x2(x?2)?x，解得x?1?2. 综上，所求解集为?0，，11?2?. （Ⅱ）设此最小值为m.
32①当a?1时，在区间[1，2]上，f(x)?x?ax.
因为
2 f?(x)?3x?2ax?3x(x?23a)?，0x?(1，2)，
则f(x)在区间[1，2]上是增函数，所以m?f(1)?1?a.
2②当1?a?2时，在区间[1，2]上，f(x)?x(x?a)?0，由f(a)?0知
m?f(a)?0.
23③当a?2时，在区间[1，2]上，f(x)?ax?x.
f?(x)?2ax?32x?3x(32a?. x)若a?3，在区间(1，2)内f?(x)?0，从而f(x)为区间[1，2]上的增函数， 由此得 m?f(1)?a?. 1若2?a?3，则1?2a?2.
32 当1?x?2a时，f?(x)?0，从而f(x)为区间[1，a]上的增函数；
33 当2a?x?2时，f?(x)?0，从而f(x)为区间[2a，2]上的减函数.
33因此，当2?a?3时，m?f(1)?a?1或m?f(2)?4(a?2).
当2?a?7时，4(a?2)?a?1，故m?f(2)?4(a?2)；
3当7?a?3时，a?1?4(a?2)，故m?f(1)?a?1.
3综上所述，所求函数的最小值
当a?1时；?1?a，?当1?a?2时；?0，? m??4(a?2)，当2?a?7时；
3??7当a?时．?a?1，3?6．（本小题满分14分，第一小问满分2分，第二、第三小问满分各6分）
设数列?an?的前n项和为Sn，已知a1?1，a2?6，a3?11，且
(5n?8)Sn?1?(5n?2)Sn?An?B，n?1，2，，3?，
其中A，B为常数. (Ⅰ)求A与B的值；
(Ⅱ)证明：数列?an?为等差数列；
(Ⅲ)证明：不等式5amn?aman?1对任何正整数m，n都成立.
本小题主要考查等差数列的有关知识、不等式的证明方法，考查思维能力、运算能力. 解：（Ⅰ）由已知，得S1?a1?1，S2?a1?a2?7，S3?a1?a2?a3?18. 由(5n?8)Sn?1?(5n?2)Sn?An?B，知 ???3S2?7S1?A?B，?2S3?12S2?2A?B， 即 ??A?B??28，?2A?B??48，
解得 A??20，B??8. （Ⅱ）方法1
由（Ⅰ），得 (5n?8S)n?1?n(5?S2??n)n?20， 8 ①
所以 (5n?3)Sn?2?(5n?7)Sn?1??20n?28. ② ②-①，得 (5n?3)Sn?2?(10n?1)Sn?1?(5n?2)Sn??20， ③
所以 (5n?2S)n?3?(1n0?④-③，得 (5n?2S)n?3?(1n5?因为 an?1?Sn?1?Sn， 所以 (5n?2a)n?3?(1n0?又因为 5n?2?0，
S9)2?n?6S)2?n?n(?5(n1?5S?7n1④)??. 20
)?S?16n. n?(5nS2?)0a4n?)2?n(?5a?2n1)?.
0所以 an?3?2an?2?an?1?0， 即 an?3?an?2?an?2?an?，n?1. 1所以数列?an?为等差数列. 方法2
由已知，得S1?a1?1，
又(5n?8)Sn?1?(5n?2)Sn??20n?8，且5n?8?0， 所以数列?Sn?是唯一确定的，因而数列?an?是唯一确定的. 设bn?5n?4，则数列?bn?为等差数列，前n项和Tn?
于是 (5n?8T)n?1?n(5?T2)n?n?(5(n?1)(n5?8)22)n?n?(5n?(53)2)??n?2n(5n?3)2.
，2 08由唯一性得 bn?an，即数列?an?为等差数列. （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，an?1?5(n?1)?5n?4. 要证
5amn?aman?1，
只要证 5amn?1?aman?2ama. n因为 amn?5mn?4，aman?(5m?4)(5n?4)?25mn?20(m?n)?16，
mn?4?)?1m2n5?故只要证 5(50?即只要证 20m?2nm2?0n(??)1a6man2，
3?7a2man. 因为 2aman?am?an?5m?5n?8 ?5m?5n?8?(1m5?1n5? 2?20m?20n?37，
所以命题得证.
备战2011高考数学――压轴题跟踪演练系列四