25．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l和抛物线W交于A，B两点，其中点A是抛物线W的顶点．当
点A在直线l上运动时，抛物线W随点A作平移运动．在抛物线平移的过程中，线段AB的长度保持不变．
应用上面的结论，解决下列问题：
如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1:y?x?2．点A是直线l1上的一个动点，且点A
的横坐标为t．以A为顶点的抛物线C1:y??x2?bx?c与直线l1的另一个交点为点B． (1) 当t?0时，求抛物线C1的解析式和AB的长；
(2) 当点B到直线OA的距离达到最大时，直接写出此时点A的坐标；
1 (3) 过点A作垂直于y轴的直线交直线l2:y?x于点C．以C为顶点的抛物线C2:y?x2?mx?n与
2直线l2的另一个交点为点D．
①当AC⊥BD时，求t的值；
②若以A，B，C，D为顶点构成的图形是凸四边形，直接写出满足条件的t的取值范围．
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图1
图2 备用图
北京市西城区2013年初三二模
数学试卷参考答案及评分标准 2013.6
一、选择题（本题共32分，每小题4分） 题号 答案 1 C 2 C 3 B 4 A 5 B 6 A 7 B 8 D 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9 x??2 10 11 12 4 5 2n+3 5 64 阅卷说明：第12题第一、第二个空各1分，第三个空2分. 三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．解：原式=4?33?1?6?3 ……………………………………………… 4分 =5?33． ……………………………………………… 5分 14．证明：∵点C是线段AB的中点，
∴AC=BC. …………………………1分 ∵∠ECA=∠DCB，
∴∠ECA+∠ECD=∠DCB+∠ECD，
即∠ACD=∠BCE. …………………2分 在△ACD和△BCE中，
??D??E,? ??ACD??BCE,
?AC?BC,?ACBED ∴△ACD≌△BCE. ……………………………………………… 4 分 ∴AD=BE . ……………………………………………… 5分 15．解：(x?2)(x?3)?(2x?1)(2x?1)?4x
?x2?5x?6?(4x2?1)?4x …………………………………………… 2分 ??3x?9x?7. …………………………………………………… 3分 ∵x?3x?1?0， 即x?3x?1， ……………………………………………4分
2∴原式??3(x?3x)?7??3?1?7?4. ……………………………… 5分
22216．解：(1) ∵关于x的一元二次方程x?7x?11?m?0有实数根，
∴??7?4(11?m)?0. ….….…..…..…………..……………………1分 5 ∴m??. …..….….…..…………..……………………2分
4 (2) ∵m为负整数，
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22
∴m??1. .….……..…..…………..…………………… 3分 此时方程为x?7x?12?0. .…….…..…………………4分
_ _
解得x1= 3，x2= 4. .…….…..…………………5分
17．解：设租用4座游船x条，租用6座游船y条. .….…..…..…………………… 1分
依题意得?2?4x?6y?38,?60x?100y?600. ….………..……………………3分
?x?5,解得? ..…………..……………………4分
?y?3.答：该公司租用4座游船5条，6座游船3条. .….….…..…..…………………5分 18．解：(1) 80； ……………………………………………………………………1分 (2) 54； ……………………………………………………………………3分
(3)
3
． …………………………………………………………………… 5分 20
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
419．解：(1)∵点C(m,4)在直线y?x上，
34 ∴4?m，解得m?3. ……………… 1分
3∵点A(?3,0)与C(3,4)在直线y?kx?b(k?0)上， ?0??3k?b,∴? ……………… 2分 4?3k?b.?yD1D244y=x3CBy=kx+bA-3Ox2??k?,3 解得???b?2.2∴一次函数的解析式为y?x?2. ……………………………………… 3分
3(2) 点D的坐标为(?2,5)或(?5,3). ……………………………………… 5分 阅卷说明：两个点的坐标各1分.
20．解：(1)在Rt△BCD中，∠BCD=90°，BC=2，tan∠BDC=
6
， 3
AED26 ∴?.
CD3 ∴CD=6. …………………………………… 1分 ∴由勾股定理得BD=BC2+CD2=10 . ……… 2 分
(2)如图，过点D作DE⊥AB交BA延长线于点E . ∵∠BAD=135°， ∴∠EAD=∠ADE=45°.
BC ∴AE=ED . ………………………………………………………………… 3分
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设AE=ED= x，则AD= 2x.
∵DE2+BE2=BD2，
∴x2+(x+2)2=(10)2. ………………………………………………… 4分 解得x1= _ 3(舍)，x2=1 . ∴AD= 2x = 2. ………………………………………………………… 5分 21．(1)证明：连接OD .
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，即∠ODE=90° . ……………………………………………1分 ∵AB是⊙O的直径， ∴O是AB的中点. 又∵D是BC的中点， . ∴OD∥AC .
∴∠DEC=∠ODE= 90° .
∴DE⊥AC . ……………………………………………………………… 2分
(2)连接AD .
∵OD∥AC，
OFOD∴?. …………………………………………………………………… 3分 FCEC ∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB= ∠ADC =90° . 又∵D为BC的中点，
∴AB=AC.
AD3∵sin∠ABC= =，
AB4∵DE⊥AC，
∴∠ADC= ∠AED= 90°. ∵∠DAC= ∠EAD， ∴△ADC∽△AED. ADAC∴. ?AEAD∴AD2?AE?AC.
9∴AE?x.
47∴EC?x.
4BDOFECA 故设AD=3x , 则AB=AC=4x , OD=2x . ………………………………………… 4分
∴
OFOD8??. ………………………………………………………………… 5分 FCEC722．解：(1)?(0,1)=(?2,2)； ……………………………………… 1分
1(2)a=?1，b=； ……………………………………… 3分
2(3) ∵点P(x,y)经过变换?得到的对应点P?(x?,y?)与点P重合，
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∴?(x,y)?(x,y).
∵点P(x,y)在直线y?2x上， ∴?(x,2x)?(x,2x). ∴??x?ax?2bx,?2x?ax?2bx. ……………………………………… 4分
?(1?a?2b)x?0,即?
(2?a?2b)x?0.?∵x为任意的实数，
3?a?,??1?a?2b?0,?2∴? 解得?
2?a?2b?0.??b??1.??4∴a?32，b??14. ……………………………………… 5分
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．解：(1) AO的长为5，△BOD的面积为 1； ………………………… 2分
(2) ∵A，B两点在函数C1:y?k1x(x?0)的图象上，
∴点A，B的坐标分别为(1,k1)，(k1,1). ………………… 3分 ∵AO=AB，
由勾股定理得AO2?1?k12，AB2?(1?k1)2?(k1?1)2， ∴1?k12?(1?k1)2?(k1?1)2.
解得k1?2?3或k1?2?3. …………………………………………… 4分 ∵k1?1，
∴k1?2?3. ………………… 5分 (3) ∵OC=4，
∴点A的坐标为(1,4).
∴k1?4. 设点B的坐标为(m,)，
m4yCy=k2xy=k1xAEMBNODx ∵BE⊥y轴于点E，BD⊥x轴于点D， ∴四边形ODBE为矩形，且S四边形ODBE=4，
点M的纵坐标为
4m，点N的横坐标为m.
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