直角三角形与勾股定理
一、选择题
1. （2016·四川达州·3分）如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】勾股定理的应用．
【分析】从点A，B，C，D中任取三点，找出所有的可能，以及能构成直角三角形的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：∵从点A，B，C，D中任取三点能组成三角形的一共有4种可能，其中△ABD，△ADC，△ABC是直角三角形，
∴所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为．
故选D．
2.（2016·广东广州）如图2，已知三角形ABC,AB=10,AC=8,BC=6,DE是AC的垂直平分线，DE交AB于D，连接CD，CD＝( )
A、3 B、4 C、4.8 D、5
ECAD图2B
［难易］ 中等
［考点］ 勾股定理及逆定理，中位线定理，中垂线的性质
［解析］ 因为AB=10,AC=8,BC=8,由勾股定理的逆定理可得三角形ABC为直角三角形，因为DE为AC边的中垂线，所以DE与AC垂直，AE=CE=4，所以DE为三角形ABC 的中位线，所以DE=BC=3,再根据勾股定理求出CD=5
［参考答案］ D
3. （2016年浙江省台州市）如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（ ）
12 1
A．
B．
C．
D．
【考点】勾股定理；实数与数轴．
【分析】直接利用勾股定理得出OC的长，进而得出答案． 【解答】解：如图所示：连接OC， 由题意可得：OB=2，BC=1， 则AC=
=
，
．
故点M对应的数是：故选：B．
4．（2016·山东烟台）如图，Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线的一端重合，∠ABC=40°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是（ ）
A．40° B．70° C．70°或80° D．80°或140° 【考点】角的计算．
【分析】如图，点O是AB中点，连接DO，易知点D在量角器上对应的度数=∠DOB=2∠BCD，只要求出∠BCD的度数即可解决问题．
【解答】解：如图，点O是AB中点，连接DO． ∵点D在量角器上对应的度数=∠DOB=2∠BCD，
∵当射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形时， ∠BCD=40°或70°，
2
∴点D在量角器上对应的度数=∠DOB=2∠BCD=80°或140°， 故选D．
5．（2016.山东省威海市，3分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（ ）
A． B． C． D．
【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【分析】连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到∠BFC=90°，根据勾股定理求出答案． 【解答】解：连接BF，
∵BC=6，点E为BC的中点， ∴BE=3， 又∵AB=4， ∴AE=∴BH=
，
=5，
则BF=， ∵FE=BE=EC， ∴∠BFC=90°， ∴CF=
故选：D．
=
．
6．（2016·江苏连云港）如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、S2、S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6．其中S1=16，S2=45，S5=11，S6=14，则S3+S4=（ ）
3
A．86 B．64 C．54 D．48
222
【分析】分别用AB、BC和AC表示出 S1、S2、S3，然后根据AB=AC+BC即可得出S1、S2、S3的关系．同理，得出S4、S5、S6的关系． 【解答】解：如图1，S1=AC，S2=BC，S3=
222
∵AB=AC+BC，
222
∴S1+S2=AC+BC=AB=S3， 如图2，S4=S5+S6， ∴S3+S4=16+45+11+14=86． 故选A．
2
2
AB．
2
【点评】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质．勾股定理：如果直角三角形的两条直角7.（2016·江苏南京）下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是 A．3，4，4 B. 3，4，5 C. 3，4，6 D. 3，4，7 答案：C
考点：构成三角形的条件，勾股定理的应用，钝角三角形的判断。 解析：由两边之和大于第三边，可排除D；
由勾股定理：a?b?c，当最长边比斜边c更长时，最大角为钝角， 即满足a?b?c，所以，选C。
8．（2016·江苏省扬州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6．将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是（ ）
222222A．6 B．3
C．2.5 D．2
4
【考点】几何问题的最值．
【分析】以BC为边作等腰直角三角形△EBC，延长BE交AD于F，得△ABF是等腰直角三角形，作EG⊥CD于G，得△EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去△ABF，△BCE，△ECG得到四边形EFDG，此时剩余部分面积的最小
【解答】解：如图以BC为边作等腰直角三角形△EBC，延长BE交AD于F，得△ABF是等腰直角三角形，
作EG⊥CD于G，得△EGC是等腰直角三角形，
在矩形ABCD中剪去△ABF，△BCE，△ECG得到四边形EFDG，此时剩余部分面积的最小=4×6﹣×4×4﹣×3×6﹣×3×3=2.5． 故选C．
9．（2016?浙江省舟山）如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是（ ）
A． B． C．1 D．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【分析】过F作FH⊥AE于H，根据矩形的性质得到AB=CD，AB∥CD，推出四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AF=CE，根据相似三角形的性质得到到AE=AF，列方程即可得到结论． 【解答】解：过F作FH⊥AE于H， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形， ∴AF=CE， ∴DE=BF， ∴AF=3﹣DE， ∴AE=
，
，于是得
∵∠FHA=∠D=∠DAF=90°，
∴∠AFH+∠HAF=∠DAE+∠FAH=90°， ∴∠DAE=∠AFH，
5