=，即=，
解得EN=，
MN=ME﹣BC=2﹣=，
故答案为：．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数，设出DH的长，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键，也是本题的难点．
三、解答题 1. (2016·云南)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC：∠BAD=1：2，BE∥AC，CE∥BD．
（1）求tan∠DBC的值；
（2）求证：四边形OBEC是矩形．
【考点】矩形的判定；菱形的性质；解直角三角形． 【专题】计算题；矩形 菱形 正方形．
【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，得到对边平行，且BD为角平分线，利用两直线平行得到一对同旁内角互补，根据已知角之比求出相应度数，进而求出∠BDC度数，即可求出tan∠DBC的值；
（2）由四边形ABCD是菱形，得到对角线互相垂直，利用两组对边平行的四边形是平行四边形，再利用有一个角为直角的平行四边形是矩形即可得证． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，∠DBC=∠ABC， ∴∠ABC+∠BAD=180°， ∵∠ABC：∠BAD=1：2， ∴∠ABC=60°， ∴∠BDC=∠ABC=30°，
则tan∠DBC=tan30°=；
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
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∴AC⊥BD，即∠BOC=90°， ∵BE∥AC，CE∥BD， ∴BE∥OC，CE∥OB，
∴四边形OBEC是平行四边形， 则四边形OBEC是矩形．
【点评】此题考查了矩形的判定，菱形的性质，以及解直角三角形，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
2. （2016·四川达州·8分）如图，已知AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接AC，BC，过点O作OD⊥AC于点D，过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E，连接BD并延长交AE于点F．
（1）求证：AE?BC=AD?AB；
（2）若半圆O的直径为10，sin∠BAC=，求AF的长．
【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；切线的性质；锐角三角函数的定义． 【分析】（1）只要证明△EAD∽△ABC即可解决问题． （2）作DM⊥AB于M，利用DM∥AE，得
=
，求出DM、BM即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AB为半圆O的直径， ∴∠C=90°， ∵OD⊥AC，
∴∠CAB+∠AOE=90°，∠ADE=∠C=90°， ∵AE是切线， ∴OA⊥AE，
∴∠E+∠AOE=90°， ∴∠E=∠CAB， ∴△EAD∽△ABC， ∴AE：AB=AD：BC， ∴AE?BC=AD?AB．
（2）解：作DM⊥AB于M，
∵半圆O的直径为10，sin∠BAC=， ∴BC=AB?sin∠BAC=6， ∴AC=∵OE⊥AC，
=8，
12
∴AD=AC=4，OD=BC=3， ∵sin∠MAD=∴DM=，AM=∵DM∥AE， ∴
=
， ．
=，
=
=
，BM=AB﹣AM=
，
∴AF=
3.（2016·广东梅州）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，
AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆
1心，大于BF长为半径画弧，两弧交于一点P，连
2接AP并延长交BC于点E，连接EF．
（选填矩形、菱形、正方形、无法确定）（直四边形ABEF是_______；
接填写结果）
（2）AE，BF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF=10，则AE（直接填写结果） 的长为________，∠ABC=________°．
考点：角平分线的画法，菱形的判定及其性质，勾股定理。
解析：（1）菱形
（2）依题意，可知AE为角平分线，因为ABEF的周长为40，所以，AF＝10， 又FO＝5，AO＝AF2?FO2＝53，所以，AE＝103，
sin?ABO?AO3?，所以，∠ABO＝120°，∠ABC＝120°。 AB24．（2016·上海）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，
DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求： （1）线段BE的长； （2）∠ECB的余切值．
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【考点】解直角三角形；勾股定理．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠A=∠B=45°，由勾股定理求出AB=3出∠ADE=∠A=45°，由三角函数得出AE=
，即可得出BE的长；
，求
（2）过点E作EH⊥BC，垂足为点H，由三角函数求出EH=BH=BE?cos45°=2，得出CH=1，在Rt△CHE中，由三角函数求出cot∠ECB==即可． 【解答】解：（1）∵AD=2CD，AC=3， ∴AD=2，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3， ∴∠A=∠B=45°，AB=
=
=3
，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，∠ADE=∠A=45°， ∴AE=AD?cos45°=2×∴BE=AB﹣AE=3
﹣
==2；
， ，
即线段BE的长为2
（2）过点E作EH⊥BC，垂足为点H，如图所示： ∵在Rt△BEH中，∠EHB=90°，∠B=45°， ∴EH=BH=BE?cos45°=2∵BC=3， ∴CH=1，
×
=2，
在Rt△CHE中，cot∠ECB=即∠ECB的余切值为．
=，
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【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角函数；熟练掌握等腰直角三角形的性质，通过作辅助线求出CH是解决问题（2）的关键．
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