习题四
1．设随机过程X(t)?Acos(?t??)，其中A具有Rayleigh分布，即其概率密度函数为
?xx2?exp(?2),x?0p(x)???2(??0) 2??0,x?0?式中?服从区间[0, 2?]上的均匀分布，且A、?相互独立，试研究X是否为平
稳过程。
2．设X是一平稳过程，且满足X(t)?X(t?T)，称X为周期平稳过程，T为其周期，试证X的相关函数也是以T为周期的周期函数。
3．设X、Y是两个相互独立的实平稳过程，试证明Z(t)?X(t)?Y(t)也是平稳过程。
4．设{X(t?),??t??是?n阶均方可微的平稳过程，证明
(2n)(?)。 {X(n)(t),???t???}是平稳过程，且Rx(n)(?)?(?1)nRX5．设{X(n)}是一均值为0的平稳时间序列，证明：
（1）Z(n)?AX(n)?BX(n?m)仍是一平稳时间序列； （2）若数列{A(n)}绝对收敛，即是一平稳时间序列；
（3）若{X(n)}是一白噪声，试求Z(n)?k?????Ak???，则Z(n)?k???(?AXnk?k?)仍
?AX(n?k)的相关函数及其谱函
kk?0?数。
6．设X(t)是雷达在t时的发射信号，遇目标返回接收机的微弱信号是
aX(n??1),a?1，?1是信号返回时间，由于接收到的信号总是伴有噪声的，记
噪声为N(t)，于是接收机接收到的全信号为：Y(t)?aX(t??1)?N(t)，若X、Y是平稳相关的平稳过程，试求RXY(?)；进而，若N(t)的均值为0，且与X(t)相互独立，试求RXY(?)。
t)?sin?t，其中?是服从区间[0, 2?]上的均匀分布的随机变量，试证：7．设X(
（1）{Xn,n?0,?1,?2,...}是一平稳时间序列；
（2）{X(t),???t???}不是平稳过程。
8．设{X(t),???t???}为零均值的正交增量过程，EX(t)?X(s)?t?s，试证Y(t)?X(t)?X(t?1)是一平稳过程。
9．设{X(t),t?0}是平稳过程，均值mX?0，相关函数为RX(?)，若
（1）RX(?)?e?a?2,a?0
??1-?,??1（2）RX(?)??
??0,其他1t令Y(t)??X(s)ds，T是固定的证书，分别计算{Y(t),t?0}的相关函数。
T010．设平稳过程{X(t),t?0}的相关函数为RX(?)?1?e????1?e???，这里
????0为常数。
（1）判断X是否为均方可导，说明理由； （2）计算E{X(t)X?(t??)}和E{X?(t)X?(t??)}。 11．设宽平稳过程{Y(t),t?(??,??)}的自相关函数为RY(?)?e??，对满足随机
微分方程X?(t)?X(t)?Y(t)的宽平稳过程解{X(t),t?(??,??)}。
（1）求X的均值函数、自相关函数和功率谱密度；
（2）求X与Y的互相关函数和互功率谱密度。
12．设{X(t),t?0}是均值为0的平稳的正态过程，且二阶均方可导。求证：对任意t>0，X(t)与X?(t)相互独立，但X(t)与X??(t)不独立，并求RXX??(t,t??)。 13．设{X(t),t?0}是均方可导的实平稳的正态过程，相关函数为R(?)，求其导数过程{X?(t),t?0}的一维、二维概率密度函数。 14．已知平稳过程的相关函数
2（1）RX(?)??e2（2）RX(?)??e?a?cos??,(a?0) (1?a?),(a?0)
?a?（3）RX(?)??2e?a?[cos???a?sin??],(a?0)
求谱密度。
15．已知平稳过程（参数连续）的谱密度
??a,??b（1）SX(?)??
??0,其他2??b,a???2a（2）SX(?)??(a?0)
??0,其他?k2,(?k,?k为正数) （3）SX(?)??22???k?1kn求相关函数和平均功率。
16．设X、Y是两平稳相关过程，且E[X(t)]?E[Y(t)]?0，RX(?)?RY(?)，
RXY(?)??RXY(??)，试证Z(t)?X(t)cos?0t?Y(t)sin?0t也是平稳过程。又若
X、Y的谱密度函数存在，使用X、Y的谱密度及互谱密度表出Z的谱密度。 17．设X(t)?cos(?t??)，其中??0为常数，?是特征函数为f(t)的实随机变量，证明X为平稳过程的充要条件为f(1)=f(2)。
18．设X为平稳正态过程，E[X(t)]?0，R(?)是其相关函数，试证
Y(t)?sgn[X(t)]是一平稳过程，且其标准相关函数为
?Y(?)?RY(?)2R(?)?arcsin RY(0)?R(0)19．设{X(t),???t??}是一平稳过程，S(?)为其谱密度函数，试证：对任意的h>0，Y(t)?X(t?h)?X(t)是平稳过程（即平稳过程具有平稳增量），并求Y的谱函数。
20．设{X(t),???t??}是均值为0、相关函数为RX(?)的实正太平稳过程，证明X2(t)也是平稳过程，并求其均值及相关函数。
21．设二阶过程{X(t),???t??}的均值函数为E[X(t)]????t，相关函数为
R(s,t)?e??t?s，其中??????0都是常数。证明Y(t)?X(t?1)?X(t)是一
平稳过程，并求其均值及相关函数。
22．设{Xn,n?0,?1,?2,...}是白噪声序列，试证明
Y(n)?1[X(n)?X(n?1)?...?X(n?m?1)] m为均方连续的平稳过称，具有谱密度S(?)，试证：
是平稳时间序列，并求其相关函数及谱密度。 23．设{X(n),n?0,?1,2?,...}对每个??0,X{n(?n),?0?,?1是,平稳序列，并用S(?)表出
{X(n?)n,?0?,?1,的谱密度。
24．设?、?是两个互相独立的实随机变量，E??0,D??1，?的分布函数是F(x)，试证明：Z(t)??ejt?为平稳过程，且其谱函数就是F(?)。
25．设{X(t),???t???}是均方可导的平稳过程，S(?)是其谱密度，试证
（1）Y(t)?（2）Z(t)????tte??(t?s)X(s)ds,(??0,常数)
e??(t?s)sin?(t?s)????X(s)ds,(??0,??0均常数)
均为平稳过程，并求他们的谱密度。
26．设Y是均方二次可导的平稳过程，X是均方连续的平稳过程，且满足：
Y??(t)??Y?(t)??02Y(t)?X(t)
使用X的谱函数表示Y的谱函数及X与Y的互谱函数。
27．已知如图所示的系统，其输入X为一零均值的平稳的正太过程，通过实验测得Z的功率谱密度为
SZ(?)???(?)?2? 222(???)(??1)22(0)?2RX(?)； （1）试证Y也为平稳的，且RY(?)?RX（2）利用（1）的结论分别求X和Y的自相关函数与功率谱密度。
X(t)(?)2Y(t)题27图
h(t)=e-tU(t)Z(t)
28．设线性时不变系统的脉冲响应h(t)?U(t)exp(??t)，其中??0为常数，
U(t)为单位阶跃函数，系统的输入X是自相关函数为
RX(?)?exp[???],(??0)的平稳过程。试求：
（1）系统输入与输出的互相关函数。 （2）输出的功率谱密度和自相关函数。
29．设随机过程X(t)?Acost?Bsint,???t???，其中A和B是相互独立的零均值随机变量，且D(A)?D(B)??2。试研究X的均值函数和相关函数是否具有各态历经性。
30．设随机过程X(t)?Acos(?t??),???t???，其中A、?是相互独立的随机变量，且?服从区间[0,2?]上的均匀分布。试研究X的均值函数和相关函数是否具有各态历经性。
31．设随机过程X(t)?Acos(?t??),???t???，其中A、?、?是相互独立的随机变量，其中A的均值为2，方差为4，且?服从区间[??,?]上的均匀分布，?服从区间(-5,5)上的均匀分布。试研究X的均值函数和相关函数是否具有各态历经性。
32．设平稳过程的期望为m，自相关函数为R(?)，协方差函数为C(?)。
（1）若
????C(?)d????，试证明X的均值各态历经；
（2）若C(0)???，且当???时，C(?)?0，试证明X的均值各态历经。
33．设平稳过程X?{X(t)?,??t??的?}均值mX?0，相关函数
RX(?)?Ae历经性。
习题五
?a?(?1?a)?,a(，其中0)A、a是常数。问X的均值是否具有各态
1．设{Un,n?1,2,...}是相互独立的随机变量序列，试问下列的{Xn,n?1,2,...}是否是马氏链，并说明理由：
（1）Xn?U1?U2?...?Un； （2）Xn?(U1?U2?...?Un)2。
2．{Xn,n?1,2,...}是随机差分方程Xn??Xn?1?In的解，其中?是已知常数，
X0?0，而{In,n?1,2,...}是独立同分布的取可数值的随机变量。试证明