14．设某更新过程的更新密度是f(t)??2te??t,t?0，试证明其更新函数是
11m(t)??t?(1?e?2?t)
2415．考虑一个系统，由于使用时间过长后会失效，而且一般失效时所造成的损失
较大，因此经常是在失效前就用一个新的同类系统更换之。考虑这样一种策略：对固定的T>0，当系统在T时还未失效时就更换（称事前更换）；若在T之前已经失效，则在失效时就更换（称事后更换）。设c1是事前更换的费用，c2是事后更换的费用。试求使长期运行单位费用达到最小的T。
16．设有一马氏更新过程(X,T)，其状态空间为S={a,b}，半马氏核为
?0.6(1?e?5t)Q(t)???3t?5t?0.5?0.2e?0.3e0.4?0.4e?2t0.5?0.5e?2t? ?2t??te?（1）试求嵌入马氏链X的转移概率矩阵；
（2）对任意的状态i、j，试计算给定现在的状态为i而下一步的状态为j的条件下，在状态i的逗留时间的分布函数。
17．对题16中的(X,T)，设X0?a,X1?a,X2?b,X3?b，试求以下条件概率：
（1）P{T1?x,T2?T1?y,T3?T2?z|X0,X1,X2,X3}； （2）P{T3?x|X0,X1,X2,X3}。
18．某机器由两个部件组成，它们的寿命分别是参数为0.01和0.04的指数分布。当有一个部件失效时，机器就失效，两个部件失效时的修理时间分别服从分布函数F和G，定义随机过程Y(t)?0,1,2分别表示机器在t时工作，部件1在修理，部件2在修理。试证明Y是一个马氏更新过程，其核为
?0?Q(t)??0?0.2H?000.8HF(t)??G(t)? 0??其中H(t)?1?e?0.05t。进而，试计算P0{Y(t)?j},j?0,1,2,3。
19．进一步考虑题18。假定部件1和2的平均修理时间分别是2和1，而修理部
件1和2的单位时间修理费用分别是18元和4元，机器在单位时间中运行的获利为10元。试计算长期运行下单位时间中的纯获利（即计算lim和期望折扣总获利（设连续折扣因子??1）。
20．考虑一个齐次马氏链，设T是非常返状态集，对i?T，记Mi表示从初始状态i出发到达某一个常返状态的首达时间，试证明
1tg(Y(t))dt）
t??t?0Mi?1??pijMj,i?T
j?T21．举例说明一个正常返（或零常返）的马氏更新过程，其嵌入马氏链是零常返的（或正常返的）。
22．对一个连续时间马氏过程，试证明
mjj?t?jj?1?1?jjj?pk?0?jk(t)?kj
23．对一个生灭过程，试证明从状态0出发首次到达状态n+1的期望时间是
?Pj?j?0i?0?1?iPi
其中Pj是由(6.7.14)式给出的极限概率。