【讲练平台】
例1 已知角的终边上一点P（－ 3 ，m），且sinθ=
2 m，求cosθ与tanθ的4
值．
分析 已知角的终边上点的坐标，求角的三角函数值，应联想到运用三角函数的定义解题，由P的坐标可知，需求出m的值，从而应寻求m的方程．
mm
解 由题意知r= 3＋m2 ，则sinθ= = 2 ． r 3＋m
又∵sinθ=
2
m， ∴ 4
m2
= m． ∴m=0，m=±5 ． 243＋m
6 15 ， tanθ= － ； 436 15
，tanθ= ． 43
当m=0时，cosθ= －1 ， tanθ=0 ； 当m= 5 时，cosθ= －
当m= － 5 时，cosθ= －
点评 已知一个角的终边上一点的坐标，求其三角函数值，往往运用定义法(三角函数
的定义)解决．
例2 已知集合E=｛θ｜cosθ＜sinθ，0≤θ≤2π}，F=｛θ｜tanθ＜sinθ}，求集合E∩F．
分析 对于三角不等式，可运用三角函数线解之．
π5ππ3π
解 E=｛θ｜ ＜θ＜}， F =｛θ｜ ＜θ＜π，或＜θ＜2π}，
4422
π
∴E∩F=｛θ｜＜θ＜π}．
2
θθθ
例3 设θ是第二象限角，且满足｜sin|= －sin ，是哪个象限的角?
222解 ∵θ是第二象限角， ∴2kπ+
∴kπ+
π3π
＜θ＜2kπ+ ，k∈Z． 22
πθ3π
＜＜kπ+ ，k∈Z ． 424
θ
∴是第一象限或第三象限角． ① 2
θθθθ
又∵｜sin|= －sin ， ∴sin ＜0. ∴ 是第三、第四象限的角． ②
2222由①、②知，
θ
是第三象限角． 2
θ
或2θ等所在的象限，要运用终边相同的角的表示法2
点评 已知θ所在的象限，求 来表示，否则易出错．
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第2课 同角三角函数的关系及诱导公式
【考点指津】
掌握同角三角函数的基本关系式：sin 2α+cos2α=1，
sinα
=tanα，tanαcotα=1， cosα
掌握正弦、余弦的诱导公式．能运用化归思想（即将含有较多三角函数名称问题化成含有较少三角函数名称问题）解题 ． 【讲练平台】
sin(2π-α)tan(π+α)cot(-α-π)
例1 化简 ．
cos(π-α)tan(3π-α)
分析 式中含有较多角和较多三角函数名称，若能减少它们的个数，则式子可望简化．
（-sinα）tanα［-cot(α+π) ］(-sinα)tanα(-cotα)
解 原式= =
(-cosα)tan(π-α) (-cosα)(-tanα)
cosα
sinα2
sinα
= =1 ．
cosα
点评 将不同角化同角，不同名的三角函数化成同名的三角函数是三角变换中常用的方法．
ππ1
例2 若sinθcosθ= ，θ∈( ，)，求cosθ－sinθ的值．
842 分析 已知式为sinθ、cosθ的二次式，欲求式为sinθ、cosθ的一次式，为了运用条
件，须将cosθ－sinθ进行平方．
13
解 (cosθ－sinθ)2=cos2θ+sin2θ－2sinθcosθ=1－ = ．
44
ππ
∵θ∈( ，)，∴ cosθ＜sinθ．
42∴cosθ－sinθ= －
3
． 2
3
， 求sinθcosθ，sinθ+cosθ的值． 2
变式1 条件同例， 求cosθ+sinθ的值． 变式2 已知cosθ－sinθ= －
点评 sinθcosθ，cosθ+sinθ，cosθ－sinθ三者关系紧密，由其中之一，可求其余之二．
例3 已知tanθ=3．求cos2θ+sinθcosθ的值．
分析 因为cos2θ+sinθcosθ是关于sinθ、cosθ的二次齐次式，所以可转化成tanθ的式子．
cos2θ+sinθcosθ1+tanθ22
解 原式=cosθ+sinθcosθ= = 222 = ． 5 cosθ+sinθ 1+tanθ 点评 1．关于cosθ、sinθ的齐次式可转化成tanθ的式子．
2．注意1的作用:1=sin 2θ+cos2θ等．
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第3课 两角和与两角差的三角函数（一）
【考点指津】
掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用化归思想（将不同角化成同角等）解题． 【讲练平台】
11
例1 已知sinα－sinβ=－ ，cosα－cosβ=，求cos(α－β)的值 ．
32 分析 由于cos(α－β)=cosαcosβ+sinαsinβ的右边是关于sinα、cosα、sinβ、cos
β的二次式，而已知条件是关于sinα、sinβ、cosα、cosβ的一次式，所以将已知式两边平方．
11
解 ∵sinα－sinβ=－， ① cosα－cosβ= ， ②
32
①2 ＋②2 ，得2－2cos(α－β)= ∴cos(α－β)=
72
． 59
13
． 36
点评 审题中要善于寻找已知和欲求的差异，设法消除差异．
2cos10°-sin20°
例2 求 的值 ．
cos20° 分析 式中含有两个角，故需先化简．注意到10°=30°－20°，由于30°的三角函数值已知，则可将两个角化成一个角．
解 ∵10°=30°－20°，
2cos(30°-20°)-sin20°
∴原式=
cos20°
=
2(cos30°cos20°+sin30°sin20°)-sin20°3 cos30°
= =3 ．
cos20° cos20°
点评 化异角为同角，是三角变换中常用的方法．
例3 已知：sin(α+β)=－2sinβ．求证：tanα=3tan(α+β)．
分析 已知式中含有角2α+β和β，而欲求式中含有角α和α+β，所以要设法将已知式中的角转化成欲求式中的角．
解 ∵2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)－α，
∴sin［(α+β)+α］=－2sin［(α+β)－α］．
∴sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=－2sin(α+β)cosα+2cos(α+β)sinα． 若cos(α+β)≠0 ，cosα≠0，则3tan(α+β)=tanα．
点评 审题中要仔细分析角与角之间的关系，善于运用整体思想解题，此题中将α+β看成一个整体
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第4课 两角和与两角差的三角函数（二）
【考点指津】
掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；能灵活运用和角、差角、倍角公式解题． 【讲练平台】
例1 求下列各式的值
（1）tan10°＋tan50°+3 tan10°tan50°；
（3 tan12°-3）csc12°(2) ．
4cos 212°-2
(1)解 原式=tan(10°+50°)（1－tan10°tan50°）+3 tan10°tan50°=3 ． （2）分析 式中含有多个函数名称，故需减少函数名称的个数，进行切割化弦．
sin12°331
（3 ·－3）?cos12° sin12°cos12?sin12?
解 原式= =
2 cos24°2cos24?1323(sin12??cos12?)3sin12??3cos12?22= ?12sin12?cos12?cos24?sin48?2=
43sin(12??60?)??43.
sin48? 点评 （1）要注意公式的变形运用和逆向运用，注意公式tanA+tanB=tan(A+B)（1－tanAtanB），asinx+bsinx=a2?b2sin(x+φ)的运用；（2）在三角变换中，切割化弦是常用的变换方法．
1+sin4θ-cos4θ1+sin4θ+cos4θ
例2 求证 = ．
2 tanθ 1-tan2θ
分析 三角恒等式的证明可从一边开始，证得它等于另一边；也可以分别从两边开始，
证得都等于同一个式子；还可以先证得另一等式，从而推出需要证明的等式．
1+sin4θ-cos4θ2tanθ
由欲证的等式可知，可先证等式 = ，此式的右边等于tan2
1+sin4θ+cos4θ 1-tan2θθ，而此式的左边出现了“1－cos4θ”和“1+cos4θ”，分别运用升幂公式可出现角2θ，
sin4θ用倍角公式可出现角2θ，从而等式可望得证．
证略
点评 注意倍角公式cos2α=2cos2α－1，cos2α=1－2sin2α的变形公式：①升幂公式
1-cos2α1＋cos2α
1+cos2α=2cos 2α，1－cos2α=2sin2α，②降幂公式sin2α= ，cos2α=
22的运用；三角恒等式证明的方法：从一边推得另一边；左右归一，先证其等价等于等式；分
析法等．
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π7πsin2x＋sin2xtanx317π
例3 已知cos(+x)= ，＜x＜ ，求的值．
45124 1-tanx
π
tan＋tanx4sin2x（1＋tanx）π
解 原式= =sin2x3 =sin2xtan（+x）
1-tanx4π
1-tantanx4
πππ
= －cos［2(x+)］tan(x+)= －［2cos2(x+ )－1］tan（+x）
44417π7π5ππ
∵＜x＜ ， ∴ ＜x+＜2π． 12434
ππ44
∴sin(+x) = － ，∴tan（+x ）=－ ．
4543∴原式 = －
28
． 75
π
点评 （1）注意两角和公式的逆用；（2）注意特殊角与其三角函数值的关系，如1=tan
4等；（3）注意化同角，将所求式中的角x转化成已知条件中的角x+
π
． 4
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