第5课 三角函数的图象与性质（一）
【考点指津】
了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，能运用数形结合的思想解决问题，能讨论较复杂的三角函数的性质． 【讲练平台】 例1 （1）函数y=
lg(1?tanx)1?2sinx的定义域为
(2)若α、β为锐角，sinα＜cosβ，则α、β满足 （C）
ππ
A．α＞β B．α＜β C．α+β＜ D． α+β＞
22
?1-tanx?0,分析 （1）函数的定义域为? (*) 的解集，由于y=tanx的最小正
1-2sinx?0.?周期为π，y=sinx的最小正周期为2π， 所以原函数的周期为2π，应结合三角函数y=tanx
π3π
和y=sinx的图象先求出(－， )上满足（*）的x的范围，再据周期性易得所求定义域
22ππ5π5π
为{x｜2kπ－＜x＜2kπ+ ，或2kπ+ ＜ x＜2kπ+ ，k∈Z} ．
2664π
分析（2）sinα、cosβ不同名，故将不同名函数转化成同名函数， cosβ转化成sin(
2－β)，运用y=sinx在［0，
π
］的单调性，便知答案为C． 2
点评 （1）讨论周期函数的问题，可先讨论一个周期内的情况，然后将其推广；（2）解三角不等式，要注意三角函数图象的运用；（3）注意运用三角函数的单调性比较三角函数值的大小．
例2 判断下列函数的奇偶性：
(1)y=
sinx?cosx1?sinx?cosx. ； (2)y=
1?cosx1?sinx?cosx
分析 讨论函数的奇偶性，需首先考虑函数的定义域是否关于原点对称，然后考f(－x)?是否等于f(x)或－f(x) ．
x
解 （1）定义域关于原点对称，分子上为奇函数的差，又因为1+cosx=2cos2 ，所以分
2母为偶函数，所以原函数是奇函数．
ππ
（2）定义域不关于原点对称（如x=－，但x≠），故不是奇函数，也不是偶函数．
22 点评 将函数式化简变形，有利于判断函数的奇偶性．
第 6 页 共 15 页
例3 求下列函数的最小正周期：
sin2x?sin(2x?)ππ3. （1）y=sin(2x－)sin(2x+ ) ；(2)y= 63?cos2x?cos(2x?)3 分析 对形如y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)和y=Atan(ωx+φ)的函数，易求出其周期，所以需将原函数式进行化简．
ππππ1
解 （1）y=sin(2x－)sin(2x+ －)= sin(4x－)，
62623
2ππ
所以最小正周期为 = ．
42
?1?(cos2x)?2（2）y=
1cos2x?(cos2x)??(sin2x)?2sin2x?(sin2x)?tan2x?33sin2x?2=233cos2x?223cos2x2 3sin2x233tan2x?13?tan(2x??).∴是小正周期为π． ? =
263?tan2x31?tan2x3 点评 求复杂函数的周期，往往需先化简，其化简的目标是转化成y=Asin(ωx+φ)＋k或y=Acos(ωx+φ) ＋k或y=Atan(ωx+φ) ＋k的形式（其中A、ω、φ、k 为常数，ω≠0）．
例4 已知函数f(x)=5sinxcosx－53cos2x+
53 (x∈R) ． 2(1)求f(x)的单调增区间；
（2）求f(x)图象的对称轴、对称中心．
5
分析 函数表达式较复杂，需先化简． 解 f(x)= sin2x－533
2ππππ1+cos2x53＋ =5sin(2x－)． （1）由2kπ－≤2x－≤2kπ+，得［kπ－232322π5π
，kπ+］（k∈Z）为f(x)的单调增区间． 1212
（2）令2x－
ππ5π5πkk
=kπ+，得x= π+ （k∈Z），则x= π+ （k∈Z）为函数32212212
ππk
y=f(x)图象的对称轴所在直线的方程，令2x－ =kπ，得x=π+ （k∈Z），∴ y=f(x)
326πk
图象的对称中心为点（π+，0）（k∈Z）． 点评 研究三角函数的性质，往往
26需先化简，以化成一个三角函数为目标；讨论y=Asin(ωx+φ)(ω＞0)的单调区间，应将ω
x+φ看成一个整体，设为t，从而归结为讨论y=Asint的单调性．
第 7 页 共 15 页
第6课 三角函数的图象与性质（二）
【考点指津】
了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的图象，理解参数A、ω、φ的物理意义．掌握将函数图象进行对称变换、平移变换、伸缩变换．会根据图象提供的信息，求出函数解析式． 【讲练平台】
π
例1 函数y=Asin（ωx+φ)(A＞0，ω＞0，｜φ｜＜)的最小值为－2，其图象相邻
2
的最高点和最低点横坐标差3π，又图象过点（0，1），求这个函数的解析式． 分析 求函数的解析式，即求A、ω、φ的值．A与最大、最小值有关，易知A=2，ω
T
与周期有关，由图象可知，相邻最高点与最低点横坐标差3π，即=3π．得 T=6π，所以
2
1x
ω=．所以y=2sin(+φ），又图象过点（0，1），所以可得关于φ的等式，从而可将φ求
33
πx
出，易得解析式为y=2sin( ＋）．
36
解略
点评 y=Asin(ωx+φ)中的A可由图象的最高点、最低点的纵坐标的确定，ω由周期的大小确定，φ的确定一般采用待定系数法，即找图像上特殊点坐标代入方程求解，也可由φ的几何意义（图象的左右平移的情况）等确定（请看下例）． 例2 右图为某三角函数图像的一段
y （1）试用y=Asin（ωx+φ)型函数表示其解析式； （2）求这个函数关于直线x=2π对称的函数解析式． 3 13ππ
解：（1）T=
3－ 3 =4π． 13πO πx 332π1
∴ω= = ．又A=3，由图象可知 － 3 T2
ππx
所给曲线是由y=3sin 沿x轴向右平移 而得到的．
23
π
∴解析式为 y=3sin (x－)．
1
23
π1
(2)设（x，y)为y=3sin( x－ ）关于直线x=2π对称的图像上的任意一点，则该点关
26
π1
于直线x=2π的对称点应为（4π－x，y)，故与y=3sin( x－）关于直线x=2π对称的函
26
ππ11
数解析式是y=3sin［（4π－x)－ ］=－3sin( x＋）．
2626
点评 y=sin(ωx+φ)(ω＞0)的图象由y=sinωx的图象向左平移（φ＞0）或向右平移
|φ|
（φ＜0）个单位．特别要注意不能搞错平移的方向和平移的单位数量．求一个函数的图
ω象关于一条直线对称图象的函数解析式时，要注意解几知识的运用．
第 8 页 共 15 页
13
例3 已知函数y=cos2x+ sinxcosx+1 (x∈R)．
22
(1)当y取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）该函数图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
π11+cos2x3 115
解 (1)y= 2 + 2 sin2x +1= sin(2x+)+ ．
2222264
πππ7
当2x+ =2kπ+ ，即x=kπ+，k∈Z时，ymax= ．
6264
π1
(2）由y=sinx图象左移个单位，再将图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标62
1
不变），其次将图象上各点纵坐标缩短到原来的（横坐标不变），最后把图象向上平移
2
4个单位即可．
思考 还有其他变换途径吗？若有，请叙述． 点评 （1）回答图像的变换时，不能省略“纵坐标不变”、“横坐标不变”等术语．（2）周期变换后的左右平移要注意平移单位的变化．
5
第 9 页 共 15 页
第7课 三角函数的最值
【考点指津】
掌握基本三角函数y=sinx和y=cosx的最值，及取得最值的条件；掌握给定区间上三角函数的最值的求法；能运用三角恒等变形，将较复杂的三角函数的最值问题转化成一个角的一个三角函数的最值问题． 【讲练平台】
例1 求函数f(x)=sin 2x+2sinxcosx+3cos2x的最大值，并求出此时x的值． 分析 由于f（x）的表达式较复杂，需进行化简．
π
解 y=sin2x+cos2x+sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+2= 2 sin(2x+)+2
4
πππ
当2x+=2kπ+， 即x=kπ+ (k∈Z)时，ymax=
428
2 +2 ．
点评 要熟练掌握y=asinx+bcosx类型的三角函数最值的求法，asinx+bcosx=
a2+b2 sin（x+φ）．
例2 若θ∈［－
12, 12］，求函数y=cos(4+θ）+sin2θ的最小值．
πππ
分析 在函数表达式中，含有两个角和两个三角函数名称，若能化成含有一个角和一个三角函数名称的式子，则问题可得到简化．
ππππ
解 y=cos(+θ)－cos［2(θ+)］=cos(+θ)－［2cos2(θ+)－1］
4444
ππππ1
=－2cos2(θ+)+cos(+θ)+1 =－2［cos2(θ+)－cos(θ+)］+1
44424
π19
=－2［cos(θ+)－］2+ ．
448
∵θ∈［－
12, 12］， ∴θ＋4∈［6，3］．
πππππ
π13 －13
∴≤cos(θ+)≤， ∴y最小值 = ．
2224
点评 （1）三角函数表达式转化成一个角的一个三角函数的形式（即f(sinx)或g(cosx))，
是常见的转化目标；（2）形如y=f(sinx)或y=g(cosx)的最值，常运用sinx，cosx的有界性，通过换元转化成y=at2+bt+c在某区间上的最值问题；（3）对于y= Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的最值的求法，应先求出t=ωx+φ的值域，然后再由y=Asint和y=Acost的单调性求出最值．
例3 试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值．
分析 由于sinx+cosx与sinxcosx可以相互表示，所以令sinx+cosx=t，则原三角函数的最值问题转化成y=at2+bt+c在某区间上的最值问题．
13
解 令t=sinx+cosx，则y=t+t2+1=(t+)2+，且t∈［－2 ，2 ］，
24
3
∴ymin= ，ymax=3+
4
2 ．
点评 注意sinx+cosx与sinxcosx的关系，运用换元法将原三角函数的最值问题转化成y=at2+bt+c在某个区间上的最值问题．
第 10 页 共 15 页