第8课 解斜三角形
【考点指津】
掌握正弦定理、余弦定理，能根据条件，灵活选用正弦定理、余弦定理解斜三角形．能根据确定三角形的条件，三角形中边、角间的大小关系，确定解的个数．能运用解斜三角形的有关知识，解决简单的实际问题． 【讲练平台】
例1 在△ABC中，已知a=3，c=33 ，∠A=30°，求∠C及b 分析 已知两边及一边的对角，求另一边的对角，用正弦定理．注意已知两边和一边的对角所对应的三角形是不确定的，所以要讨论．
33
解 ∵∠A=30°，a＜c，c2sinA=＜a， ∴此题有两解．
2
1333
2csinA3
sinC= = = ， ∴∠C=60°，或∠C=120°．
a32
∴当∠C=60°时，∠B=90°，b=a2+b2 =6．
当∠C=120°时，∠B=30°，b=a=3．
点评 已知两边和一边的对角的三角形是不确定的，解答时要注意讨论． 例2 在△ABC中，已知acosA=bcosB，判断△ABC的形状．
分析 欲判断△ABC的形状，需将已知式变形．式中既含有边也含有角，直接变形难以进行，若将三角函数换成边，则可进行代数变形，或将边换成三角函数，则可进行三角变换．
b2+c2—a2a2+c2—b2
解 方法一：由余弦定理，得 a2（
2bc）=b2（2ac），
∴a 2c 2－a 4－b 2c 2+b 4=0 ． ∴(a2－b2)(c 2－a2－b2)=0 ． ∴a2－b2=0，或c2－a2－b2=0． ∴a=b，或c2=a2+b2．
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
方法二：由acosA=bcosB，得 2RsinAcosA=2RsinBcosB．
∴sin2A=sin2B． ∴2A=2B，或2A=π－2B．
π
∴A=B，或A+B=．
2
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
点评 若已知式中既含有边又含有角，往往运用余弦定理或正弦定理，将角换成边或将边换成角，然后进行代数或三角恒等变换．
例3 已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，
BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积．
分析 四边形ABCD的面积等于△ABD和△BCD的 A 面积之和，由三角形面积公式及∠A+∠C=π可知，只需
求出∠A即可．所以，只需寻找∠A的方程． B 解 连结BD，则有四边形ABCD的面积 D O
2
第 11 页 共 15 页
C
11
S=S△ABD+S△CDB=AB2AD2sinA+BC2CD2sinC．
22
∵A+C=180°， ∴sinA=sinC．
1
故S=（234+634）sinA=16sinA．
2
在△ABD中，由余弦定理，得BD2=AB2+AD2－2AB2ADcosA=20－16cosA ． 在△CDB中，由余弦定理，得BD2=CB2+CD2－2CB2CD2cosC=52－48cosC． ∴20－16cosA=52－48cosC．
1
∵cosC=－cosA， ∴64cosA=－32，cosA=－ ．
2
A 点评 注意两个三角形的公用边在解题中的运用． 例4 墙壁上一幅图画，上端距观察者水平视线b米， b B 下端距水平视线a米，问观察者距墙壁多少米时，才能使 a 观察者上、下视角最大． P C 分析 如图，使观察者上下视角最大，即使∠APB
最大，所以需寻找∠APB的目标函数．由于已知有关边长， 所以考虑运用三角函数解之．
解 设观察者距墙壁x米的P处观察，PC⊥AB，AC=b，BC=a(0＜a＜b)， 则∠APB=θ为视角．
又∵0°＜A＜180°，∴A=120°． 故S=16sin120°=8 3 ．
ba?tan∠APC—tan∠BPCxx y=tanθ=tan(∠APC－∠BPC)= =
1+ tan∠APC2tan∠BPCba1??xx=
x+x
b—ab—aab
≤， 当且仅当x= ab2ab x , 即x=ab 时，y最大．
ππ
由θ∈（0，）且y=tanθ在（0，）上为增函数，故当且仅当x=ab 时视角最大．
22点评 注意运用直角三角形中三角函数的定义解决解三角形的有关问题．
大面积．
第 12 页 共 15 页
【单元检测】
单元练习（三角函数）
（总分100分，测试时间100分钟）
一、选择题：本大题共12小时，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．若角α满足sin2α＜0，cosα－sinα＜0，则α在 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．若f(x)sinx是周期为π的偶函数，则f(x)可以是 （ ） A．sin2x B． cosx C． sinx D． cox2x
m－34－2 mπ
3．若sinx=，cosx=，且x∈［，π］，则m的取值范围为 （ ）
m+5m+52A．3＜m＜9 B． m=8 C． m=0 D． m=0或m=8 4．函数f(x)=log1 (sin2x+cos2x)的单调递减区间是 （ ）
3
ππππ
A．（kπ－，kπ+）(k∈Z) B．（kπ－，kπ+）(k∈Z)
4888π3ππ5π
C．（kπ+，kπ+）(k∈Z) D．（kπ+，kπ+ ）(k∈Z)
88885．在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是 （ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 a+b+c
6．△ABC中，∠A=60°，b=1，其面积为3 ，则 等于 （ ）
sinA+sinB+sinC239 263 39
A．33 B． C． D．
332π
7．已知函数y=2 cos(ωx+φ)(0＜φ＜）在一个周期
2内的函数图象如图，则 （ ）
6ππ3ππA．T=，φ= B．T=，φ=
5424ππ
C．T=3π，φ=－ D．T=3π，φ=
44π
8．将函数y=f(x)sinx的图象向右平移个单位后，再作4
关于x轴的对称变换，得到函数y=1－2sin2x的图象，则f(x)可以是（ ） A．cosx B．2cosx C．sinx D．2sinx
9．函数f(x)=Msin(ωx+φ)(ω＞0)在区间［a，b］上是增函数，且f(a)=－M，f(b)=M，则函
数g(x)=Mcos(ωx+φ)在区间［a，b］上 （ ） A．是增函数 B．是减函数
C．可以取得最大值M D．可以取得最小值－M
10．在△ABC中，∠C＞90°，则tanA2tanB与1的关系适合 （ ）
A．tanA2tanB＞1 B．anA2tanB＜1 C．tanA2tanB=1 D．不确定 11．设θ是第二象限角，则必有 （ A ）
θθθθA．cot＜tan B．tan＜cot
2222
－2 y 3π O 203π 4x －2 第 13 页 共 15 页
θθθθC．sin＞cos D．sin＜cos
2222
ππ
12．若sinα＞tanα＞cotα(－＜α＜}，则α∈ （ ）
22
ππππππ
A．（－，－ ） B．（－，0） C．（0，） D．（，）
244442二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分，把答案填在题中横线上．
13．sin390°+cos120°+sin225°的值是 ． 14．
sin39°－sin21°
= ．
cos39°－cos21°
1
15．已知sinθ+cosθ= ，θ∈（０，π），cotθ的值是 ．
5π
16．关于函数f(x)=4sin(2x+)(x∈R)，有下列命题：
3
π
（1）y=f(x)的表达式可改写为y=42cos(2x－)；
6(2)y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数； （3）y=f(x)的图象关于点（－
π
，0）对称； 6
π
对称． 6
（4）y=f(x)的图象关于直线x=－
其中正确的命题序号是 （注：把你认为正确的命题序号都填上）．
三、解答题：本大题共6小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题8分）已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x轴的正半轴上，终
2π
边经过点P（－1，2），求sin(2α+)的值．
3
π
18．（本小题8分）已知sin22α+sin2αcosα－cos2α=1，α∈(0，)，求sinα、tanα的值．
2x
19．(本小题9分)设f(x)=sin2x－asin2，求f(x)的最大值m．
2
παα
20．(本小题9分)已知α、β∈（0，），且3sinβ=sin(2α+β)，4tan =1－tan2，求α
422
+β的值．
21．（本小题9分）某港口水的深度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y=f(t)，
第 14 页 共 15 页
下面是某日水深的数据： T(时)
经长期观察，y=f(t)的曲线可以近似地看成函数y=Asinωt+b的图象． （1）试根据以上数据，求出函数y=f(t)的近似表达式；
（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的，
某船吃水深度（船底离水面的距离）为6．5米，试求一天内船舶安全进出港的时间．
22．（本小题9分）在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c． 若b2=ac，求y=
的取值范围．
1+sin2BsinB+cosB
0 3 6 9 12 15 18 21 24 Y(米) 10．0 13．0 9．9 7．0 10．0 13．0 10．1 7．0 10．0
单元练习（三角函数）
一、选择题
1．B 2．C 3．B 4．B 5．C 6．B 7．A 8．B 9．C 10．B 11．A 12．B 二、填空题 13．—
2 3
14．— 3 15．－ 16．（1）（3） 24
三、解答题 17．
4—33 13
18． sinα= ，tanα= 19．当a＜－4时，m=－a；当－4≤a≤41023
ππa2a
时，m= － +1；当a＞4时，m=0 20．α+β= 21．（1）y=3sin t+10；
16246（2）1时至5时，13时至17时 22． 1＜y≤2
第 15 页 共 15 页