2012 湖南文科高考 数列求和及综合应用方法专题
一、定义法 —— 直接利用等差或等比数列的定义求通项。
特征：适应于已知数列类型（等差or等比）的题目．
2例．等差数列?an?是递增数列，前n项和为Sn，且a1,a3,a9成等比数列，S5?a5．求数列?an?的通项
公式. 解：
二、公式法
?S1????????????????n?1求数列?an?的通项an可用公式an??求解。
S?S???????n?2n?1?n特征：已知数列的前n项和Sn与an的关系
例．已知数列?an?的前n项和Sn满足Sn?2an?(?1)n,n?1．求数列?an?的通项公式。
三、由递推式求数列通项法
类型1 特征：递推公式为an?1?an?f(n)
对策：把原递推公式转化为an?1?an?f(n)，利用累加法求解。
例1. 已知数列?an?满足a1? 解：
11，an?1?an?2，求an。 2n?n类型2 特征：递推公式为 an?1?f(n)an
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对策：把原递推公式转化为
例2. 已知数列?an?满足a1?
an?1?f(n)，利用累乘法求解。 an2nan，求an。 ，an?1?3n?1类型3 特征：递推公式为an?1?pan?q（其中p，q均为常数）
对策：（利用构造法消去q）把原递推公式转化为由an?1?pan?q得an?pan?1?q(n?2)两式相减并整
a?an理得n?1?p,构成数列?an?1?an?以a2?a1为首项，以p为公比的等比数列.求出
an?an?1?an?1?an?的通项再转化为类型1（累加法）便可求出an.
例3. 已知数列?an?中，a1?1，an?1?2an?3，求an.
类型4特征：递推公式为an?1?pan?f(n)（其中p为常数）
n?1对策：（利用构造法消去p）两边同时除以p可得到
an?1anf(n)anf(n)???bb?b?，令，则，nn?1nn?1nn?1nn?1ppppp再转化为类型1（累加法），求出bn之后得an?pnbn
例4．设数列{an}的前n项和Sn.已知首项a1=3,且Sn?1+Sn=2an?1,试求此数列的通项公式an及前n项和
Sn.
类型5 特征：递推公式为an?2?pan?1?qan（其中p，q均为常数）。
?s?t?p对策：先把原递推公式转化为an?2?san?1?t(an?1?san) 其中s，t满足?，再应用前面类型3
?st??q第 2 页
的方法求解。
例5. 已知数列?an?中，a1?1,a2?2,an?2?
21an?1?an，求an。 33巩固：
例8. 数列{an}满足a1=1，3an?1?an?7?0,求数列{an}的通项公式。
例9. 已知数列?an?满足a1?1，且an?1?3an?2，求an．
例10．已知数列?an?满足a1?1，an?3n?2an?1 (n?2)，求an．
例11. 已知数列?an?满足a1?1,a2?3,an?2?3an?1?2an(n?N*).
例12. 数列?an?满足a1?2,a2?5,an?2?3an?1?2an=0，求数列{an}的通项公式。
例13．已知数列?an?满足a1?1,a2?2,an?2?（I）证明：数列?an?1?an?是等比数列；（II）求数列?an?的通项公式；
21an?1?an求an． 33求sn的四种方法：
⑴错位相减法 ①若数列?an?为等差数列，数列?bn?为等比数列，则数列?an?bn?的求和就要采用此法.
②将数列?an?bn?的每一项分别乘以?bn?的公比，然后在错位相减，进而可得到数列?an?bn?的前n项和.
a为等差数列，b为等比数列，求数列ab（差比数列）前n项例：若 ??????nnnn第 3 页
和，可由S?qS求S，其中q为b的公比。??nnnn 如：Sn?1?2x?3x2?4x3?……?nxn?1234?1?
x ·S?x?2x?3x?4x?……?n?1x?nx?2???nn?1n ? 1???2?：11?xS??x?x?……?x?nx??n2n?1n1?x?n?x x ?1时，S??nnn21?x??1?xnn?1?? x ?1时，S?1?2?3?……?n?n2 ⑵裂项相消法 一般地，当数列的通项an?采用裂项相消法求和.
可用待定系数法进行裂项：
设an?得
c (a,b1,b2,c为常数）时，往往可将an变成两项的差，
(an?b1)(an?b2)?an?b1??an?b2，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得??c，从而可
b2?b1cc11=(?).
(an?b1)(an?b2)(b2?b1)an?b1an?b2
⑶分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.
⑷倒序相加法 如果一个数列?an?，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征：a1?an?a2?an?1?... ⑸记住常见数列的前n项和： ①1?2?3?...?n?n(n?1); 22②1?3?5?...?(2n?1)?n; ③1?2?3?...?n?
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22221n(n?1)(2n?1). 6【核心要点突破】
要点考向1：可转化为等差、等比数列的求和问题
考情聚焦：1．可转化为等差或等比数列的求和问题，已经成为高考考查的重点内容之一。 2．该类问题出题背景选择面广，易与函数方程、递推数列等知识综合，在知识交汇点处命题。 3．多以解答题的形式出现，属于中、高档题目。
考向链接：某些递推数列可转化为等差、等比数列解决，其转化途径有： 1．凑配、消项变换——如将递推公式
（q、d为常数，q≠0，≠1）。通过凑配变成
；或消常数转化为
2．倒数变换—如将递推公式3．对数变换——如将递推公式
4．换元变换——如将递推公式
（c、d为非零常数）取倒数得
取对数得
（q、d为非零常数，q≠1，d≠1）变换成
，令，则转化为的形式。
n?11?1?例1：（2010·福建高考文科·Ｔ１7）数列{an} 中a＝，前n项和Sn满足Sn?1-Sn＝??3?3?（n?N）.
( I ) 求数列{an}的通项公式an以及前n项和Sn；
（II）若S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差数列，求实数t的值。
要点考向2：错位相减法求和
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考情聚焦：1．错位相减法求和，是高中数学中重要的数列求和方法，是近年来高考的重点考查内容。
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