4?2L?T?g1?gT3?gT2?T?gg?gT1?g?T???????????T222n?g28?L28?L28?L22g22g?T|
?TT|?1?g1??0.1%?0.03536%
22g22综上所述，测量L和T的相对标准差分别是0.07072%和0.03536%。 第第五章：最小二乘法原理
理知识点：
? 1.最小二乘法原理 ? 2.正规方程
? 3.两种参数估计的方法 ? 4.精度估计
? 推荐掌握：基于矩阵的的最小二乘法参数估计 参数最小二乘法估计矩阵形式的简单推导及回顾： 由误差方程 V?L?AX
T
且要求VV最小，则： VTV?(L?AX)T(L?AX) ?(LT?XTAT)(L?AX)
?LTL?LTAX?XTATL?XTATAX
令其等于f(X),要f(X)最小，需其对应偏导为0：
df(X)??LTA?LTA?(ATAX)T?XTATA?0 dXLTA?XTATA, ATL?ATAX
所以：
X?(ATA)?1ATL
理论基础：
ddf(X)=[f(X)]T TdXdXddd[f(X)g(X)]=g(X)[f(X)]?f(X)[g(X)] dXdXdX
5-1 由测量方程
3x?y?2. 9 x?2y?0. 9 2x?3y?1. 9试求x、y的最小二乘法处理及其相应精度。 解：方法一（常规）：
1.列出误差方程组：
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v1?2.9?(3x?2y)??v2?0.9?(x?2y)? v3?1.9?(2x?3y)???V＝(2.9?(3x?y))2ii＝132?(0.9?(x?2y))2?(1.9?(2x?3y))2
分别对x，y求偏导，并令它们的结果为0，
2((3x?y)?2.9)?3?2((x?2y)?0.9)?2((2x?3y)?1.9)?2?0 2((3x?y)?2.9)?2((x?2y)?0.9)?2?2((2x?3y)?1.9)?3?0即，
14x?5y?13.4??
?5x?14y??4.6?
由上式可解得结果：
x?0.9626 y?0.0152
2. 直接列表计算给出正规方程常数项和系数
i ai1 ai2 ai21 9 1 4 14 ai22 1 4 9 14 ai1ai2 li ai1li ai2li 1 2 3 ? 可得正规方程 3 1 2 --- 1 -2 -3 --- 3 -2 -6 -5 2.9 0.9 1.9 --- 8.7 0.9 3.8 13.4 2.9 -1.8 -5.7 -4.6 14x?5y?13.4??
?5x?14y??4.6?将x，y的结果代入分别求得：
v1?2.9?(3?0.9626＋0.0152)＝?0.003??v2?0.9?(0.9626?2?0.0152)＝?0.0322?得， v3?1.9?(2?0.9626－3?0.0152)＝0.0204???vi?132i?v12?v22?v32?(?0.003)2?(?0.0322)2?(0.0204)2
?0.00146由题已知，n?3，t?2得
1.46?10?3????0.0382得，
n?t3?2由不定乘数的方程组
1?v32i14d11?5d12?1?14d21?5d22?0? ??
?5d11?14d12?0??5d21?14d22?1? 12
得
d11?0.0819 d22?0.0819
得
?x??d11?0.03820.0819?0.0109
?y??d22?0.03820.0819?0.0109
方法二（按矩阵形式计算）：由误差方程V?L?AX v1?2.9?(3x?2y)?? v2?0.9?(x?2y)?上式可以表示为 v3?1.9?(2x?3y)???v1??l1??31??v???l???1?2??x? ?2??2????y?????v3????l3????2?3???即
?v1??l1??2.9??31???x??；L??l???0.9?； A??1?2?； XV??v??y?可得 ?2??2???????????1.9???2?3???v3???l3????x?X????C?1ATL?(ATA)?1ATL
?y??式中
C?1?(ATA)?1??31???1312???14?5??????????1?2?????514? 1?2?3???23??????????145?11?145??????14?5??145?171?145??514－1所以
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?x?X????C?1ATL?y???2.9?145312????1?0.9??????171?145??1?2?3?????1.9???2.9????1?47413 ?0.9????171?29?23?32???1.9???1?164.6??171??2.6??0.9626?＝???0.0152?即解得，
x?0.9626??
y?0.0152?将最佳估计值代入误差方程可得，
?v1??V?L?AX???v2???v3???l1??31????1?2??x? ??l?2????y?????l3????2?3????2.9??31????1?2??0.9626???0.9??0.0152????????1.9????2?3??
?0.0030??????0.0322????0.0204??将计算得到的数据代入式中
???v131.46?10－3??0.0382 n?t3-2
2i2)。 为求出估计量x，y的标准差，首先求出不定常数dij (i，j?1，由已知，不定常数dij的系数与正规方程的系数相同，因而dij是矩阵C?1中各元素，即
d??d1?145?C?1??1112???145? dd171???2122?
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则
d11?可得估计量的标准差为
1414?0.0819 d22??0.0819 171171?x??d11?0.03820.0819?0.0109
?y??d22?0.03820.0819?0.0109
5-3 测力计示值与测量时的温度t的对应值独立测得如下表所示。 15 18 21 24 t/?C F/N 43.61 43.63 43.68 43.71 27 43.74 30 43.78 设t无误差，t值随t的变化呈线性关系F?k0?kt，试给出线性方程中系数k0和k的最小二乘估计及其相应精度。
解：利用矩阵求解，误差方程V?L?AX可写成
?v1??l1??1?v??l??1?2??2???v3??l3??1????????v4??l4??1?v5??l5??1??????v6????l6????1?15?18??21??k0??? 24???k?27??30???即
?v1??l1??43.61??1?v??l??43.63??122????????v??l??43.68??1； A?V??3?；L??3??????v4??l4??43.71??1?v5??l5??43.74??1???????vl43.78????????1??6??6??15?18???21??k0?X?；??k? 24???27??30?? 可得
?k?X??0??C?1ATL?(ATA)?1ATL
?k??式中
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