③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动）
④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. （向量维数变动） ⑤ 两个向量线性相关?对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关p教材114. ⑥ 向量组?1,?2,???,?n中任一向量?i(1≤i≤n)都是此向量组的线性组合.
⑦ 向量组?1,?2,???,?n线性相关?向量组中至少有一个向量可由其余n?1个向量线性表示. 向量组?1,?2,???,?n线性无关?向量组中每一个向量?i都不能由其余n?1个向量线性表示. ⑧ m维列向量组?1,?2,???,?n线性相关?r(A)?n； m维列向量组?1,?2,???,?n线性无关?r(A)?n.
⑨ 若?1,?2,???,?n线性无关，而?1,?2,???,?n,?线性相关,则?可由?1,?2,???,?n线性表示,且表示法唯一. ⑩ 矩阵的行向量组的秩?列向量组的秩?矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.
行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0时，称为行最简形矩阵 ? 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系； 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.
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√ 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：
对A施行一次初等行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵左乘A； 对A施行一次初等列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵右乘A.
矩阵的秩 如果矩阵A存在不为零的r阶子式，且任意r?1阶子式均为零，则称矩阵A的秩为r.记作r(A)?r 向量组的秩 向量组?1,?2,○○
○○
,?n的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作r(?1,?2,,?n)
矩阵等价 A经过有限次初等变换化为B. 记作：A?B
向量组等价 ?1,?2,???,?n和?1,?2,???,?n可以相互线性表示. 记作：??1,?2,???,?n????1,?2,???,?n?
? 矩阵A与B等价?PAQ?B，P,Q可逆?r(A)?r(B),A,B为同型矩阵??A,B作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.
矩阵A与B作为向量组等价?r(?1,?2,???,?n)?r(?1,?2,???,?n)?r(?1,?2,????n,?1,?2,???,?n)? 矩阵A与B等价.
? 向量组?1,?2,???,?s可由向量组?1,?2,???,?n线性表示?AX?B有解?r(?1,?2,???,?n)=r(?1,?2,????n,?1,?2,???,?s)?r(?1,?2,???,?s)≤r(?1,?2,???,?n). ? 向量组?1,?2,???,?s可由向量组?1,?2,???,?n线性表示,且s?n，则?1,?2,???,?s线性相关.
向量组?1,?2,???,?s线性无关,且可由?1,?2,???,?n线性表示,则s≤n.
? 向量组?1,?2,???,?s可由向量组?1,?2,???,?n线性表示,且r(?1,?2,???,?s)?r(?1,?2,???,?n),则两向量组等价；p教材94,例10 ? 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价.
7
? 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. ? 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. ? 设A是m?n矩阵,若r(A)?m，A的行向量线性无关；
若r(A)?n，A的列向量线性无关,即：?1,?2,???,?n线性无关. √ 矩阵的秩的性质：
①若A?O?r(A)≥1 若A?O?r(A)?0 0≤r(Am?n)≤min(m,n) ③r(kA)?r(A) 若k?0
④若A?r(A)?r(B)?n m?n,Bn?s,若r(AB)?0???B的列向量全部是Ax?0的解
⑤r(AB)≤min?r(A),r(B)?
⑥
若A可逆?r(AB)?r(B)若B可逆?r(AB)?r(A) 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.
???Ax?? 只有零解⑦若r(A??r(AB)?r(B) m?n)?n????；?AB?O?B?O
???A在矩阵乘法中有左消去律????AB?AC?B?C若r(Bn?s)?n???r(AB)?r(B)
?B在矩阵乘法中有右消去律.
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②r(A)?r(AT)?r(ATA)p教材101,例15
⑧若r(A)?r?A与唯一的??Er?OO??Er等价，称??O??OO??为矩阵A的等价标准型. O?⑨r(A?B)≤r(A)?r(B) max?r(A),r(B)?≤r(A,B)≤r(A)?r(B) p教材70
?AO??OA??AC?⑩r??????r(A)?r(B) r???r(A)?r(B)
OBBOOB??????????n??,?n线性表示?Ax??有解?r(A)?r(A?)????n???当A为方阵时?Ax??有无穷多解??????A?0 ?表示法不唯一??1,?2,,?n线性相关?Ax?0有非零解 当A为方阵时?Ax??有唯一组解??????A?0?克莱姆法则?可由?1,?2,?表示法唯一 ??1,?2,,?n线性无关?Ax??只有零解 ?不可由?1,?2,??r(A)?r(A?) ?,?n线性表示?Ax??无解??r(A)?r(A?) 教材72??r(A)?1?r(A?) 讲义87?注：○
?Ax??有无穷多解其导出组有非零解???Ax??有唯一解其导出组只有零解 ??
线性方程组的矩阵式 Ax?? 向量式 x1?1?x2?2??xn?n??
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?a11?aA??21???am1a12a22am2a1n???1j??x1??b1?????????a2n?xb2j?,x??2?,???2? ?j??,j?1,2,?????????????????amn?xb?n??m??mj??x1???x,?n)?2???
?????xn?,n
(?1,?2,
矩阵转置的性质： 矩阵可逆的性质： 伴随矩阵的性质： (AT)T?A (AB)T?BTAT (kA)T?kAT AT?A (A?B)T?AT?BT (A?1)T?(AT)?1 (AT)??(A?)T (A?1)?1?A (A?)??An?2(AB)?1?B?1A?1 (kA)?1?k?1A?1 A (AB)??B?A? A?1?A A??An?1?1(A?B)?1?A?1?B?1 (A?1)k?(Ak)?1?A?k (A?B)*?A*?B* (A?1)??(A?)?1?AA(kA)??kn?1A? (Ak)??(A?)k ?n 若r(A)?n ?r(A?)??1 若r(A)?n?1 ?0 若r(A)?n?1 ?AB?AB kA?knA Ak?A kA?B?A?B AA??A?A?AE（无条件恒成立） 10